Enunciado

Se f x = ∫ 0 x cos ⁡ t   d t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x = π 3 ao ponto onde x = π 2 .

Passo 1

O exercício pede o comprimento da curva y = f ( x ) de x = π / 3 até x = π / 2 . Para resolver esse problema, você precisa lembrar que o comprimento de uma curva é dado pela integral:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Neste caso, temos que

y = ∫ 0 x cos ⁡ t     d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral é a própria função que seria integrada. Assim,

y ' = cos ⁡ x

Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + cos ⁡ x

Desta forma,

L = ∫ π 3 π 2 1 + cos ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcularmos essa integral vamos lembrar que

cos 2 ⁡ x 2 = 1 2 1 + cos ⁡ x ⇒ 1 + cos ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x 2

Portanto,

1 + cos ⁡ x = 2 cos ⁡ x 2

Logo,

L = 2 ∫ π 3 π 2 cos ⁡ x 2   d x

Passo 3

Fazendo a substituição t = x / 2 , temos que d x = 2   d t :

L = 2 2   ∫ π 6 π 4 cos ⁡ t   d t

Assim, temos que

L = 2 2   s e n   t π / 6 π / 4 = 2 2   s e n π 4 - s e n π 6

Logo,

L = 2 2 2 2 - 1 2

Assim, o comprimento da curva será

L = 2 - 2

Resposta

2 - 2

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