Enunciado

Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = ln ⁡ x que está entre os pontos ( 1,0 ) e ( 2 , ln ⁡ 2 ) .

Passo 1

Bom, o que devemos fazer é escrever a integral que fornece o comprimento de arco e tentar calculá-la usando uma tabela de integrais ou uma calculadora gráfica.

Derivando a função, temos que

y ' = 1 x ⇒ 1 + y ' 2 = 1 + 1 x 2

Assim,

L = ∫ 1 2 1 + 1 x 2   d x

Passo 2

Utilizando uma calculadora gráfica, obtemos a primitiva para a função:

∫ 1 + 1 x 2   d x = x 2 + 1 + ln ⁡ x x 2 + 1 + 1

Assim,

L = x 2 + 1 + ln ⁡ x x 2 + 1 + 1 1 2

Portanto,

L = 5 + ln ⁡ 2 5 + 1 - 2 - ln ⁡ 1 2 + 1 = 5 - 2 + ln ⁡ 2 2 + 2 5 + 1

Resposta

5 - 2 + ln ⁡ 2 2 + 2 5 + 1

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