Enunciado

Ache a derivada da função F (x) = senh^3 ( 2 x ) .

Passo 1

Pessoal, para resolver essa derivada, precisamos lembrar que senh x é a função seno hiperbólico e sua derivada é o cosh x , cosseno hiperbólico.

(senh x) ' = cosh x

Precisaremos também lembrar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro)

[f (g (x))] ' = f ' (g (x)) * g ' ( x )

,pois temos a composição de funções (senh ( 2 x ))^3 , hiperbólica dentro de um polinômio.

Passo 2

Vamos chamar g (x) = senh 2 x , e f (x) = x^3 , assim percebemos que

F (x) = (senh (2 x))^3 = f ( g (x) )

Na regra da cadeia aparece a expressão f ' (g (x)) então vamos ver logo que expressão é essa. Usando a derivada ( x^n ) ’ = n x^(n - 1) com n = 3 , temos que f ' ( x ) = 3 x^(3 - 1) = 3 x^2 , então f ' (g (x)) = 3 (g (x))^2 .

Aplicando a regra da cadeia e o resultado acima temos

F ' (x) = f ' (g (x)) * g ' (x) = 3 (g (x))^2 * g ' (x)

Passo 3

Agora precisamos de g ’ ( x ) em que g ( x ) = senh 2 x .

Temos que se u é função de x , então

(senh u)^' = ( cosh u ) * u ' (Regra da cadeia)

No nosso caso, u = 2 x , sendo assim

(senh 2 x) ' = ( cosh 2 x ) * ( 2 x ) ' = ( cosh 2 x ) * 2

Aqui usamos a derivada ( a x ) ’ = a com a = 2 .

Logo, g ' (x) = 2 cosh 2 x .

Passo 4

Agora vamos substituir g ' (x) e g ( x ) em F ' (x) = 3 (g (x))^2 * g ' (x) .

Ficamos então com

F ' (x) = 3 (senh 2 x)^2 * ( 2 cosh 2 x )

F ' (x) = 6 (senh 2 x)^2 * ( cosh 2 x )

Tranquilo, né?

Resposta

F ' (x) = 6 (senh 2 x)^2 * ( cosh 2 x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que d d x arctan ⁡ ( tanh ⁡ x = sech ⁡ 2 x
Um cabo com densidade linear ρ = 2 k g / m é amarrado no topo de dois postes que têm 200 m de distância entre si. (a) Use o Exercício 52 para encontrar a tensão T de forma que o cabo esteja 60 m acima
Mostre que d d x 1 + t g hx 1 - t g hx 4 =1 2 e 1 2 x .
Encontre a derivada. H t =t g h( e t )
Encontre a derivada. f t =l n ⁡ ( s e n ht )