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Ache o limite

lim x → 2 - ⁡ x - 2 2 - 4 x - x 2

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

lim x → 2 - ⁡ x - 2 2 - 4 x - x 2 = 2 - 2 2 - 4 2 - 2 2 = 0 2 - 8 - 4 = 0 2 - 4 = 0 0

Ih, chegamos em um indeterminação. Antes de qualquer coisa temos que tentar tirá-la daí.

Para isso, vamos fazer um algebrismo malandro na fração dentro do limite.

x - 2 2 - 4 x - x 2

Vamos começar multiplicando essa fração pelo conjugado do denominador, que é 2 + 4 x - x 2

Vamos ter

x - 2 2 - 4 x - x 2 ∙ 2 + 4 x - x 2 2 + 4 x - x 2 = x - 2 2 + 4 x - x 2 4 - 4 x - x 2 = x - 2 2 + 4 x - x 2 4 - 4 x + x 2

Passo 2

Agora, temos que fatorar aquele denominador

4 - 4 x + x 2

Isso é um trinômio quadrado perfeito,

x - 2 2

Assim, nossa fração vai ficar

x - 2 2 + 4 x - x 2 x - 2 2

Simplificando o x - 2

2 + 4 x - x 2 x - 2

Passo 3

Vamos substituir agora isso no limite e ver o que temos

lim x → 2 + ⁡ 2 + 4 x - x 2 x - 2 = 2 + 4 2 - 2 2 - 2 = 2 + 8 - 4 0 = 2 + 4 0 = 4 0

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + ∞ ou - ∞

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 4

Vamos olhar a fração que temos no limite

2 + 4 x - x 2 x - 2

A questão pediu o limite lateral pela esquerda. Que é o limite por valores menores que 2 .

O numerador é uma raiz quadrada mais 2 , a raiz é sempre positiva. Somando 2 vai continuar positivo. Então nosso numerador vai ser positivo.

O denominador vai ser x - 2 , como estamos com valores de x menores que 2 , ele vai ser negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores menores que 2 é negativa. O que vai fazer com que aquele que vimos seja - ∞

lim x → 2 - ⁡ x - 2 2 - 4 x - x 2 = - ∞

Resposta

- ∞

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