Enunciado

Ache o limite

underset(x -> 1^+)(lim) (x - 1)/(sqrt(2 x - x^2) - 1)

Passo 1

A primeira coisa para resolver esse limite é substituir o valor de x na expressão.

underset(x -> 1^+)(lim) (x - 1)/(sqrt(2 x - x^2) - 1) = (1 - 1)/(sqrt(2 (1) - 1^2) - 1) = (0)/(sqrt(2 - 1) - 1) = (0)/(sqrt(1) - 1) = (0)/(0)

Ih, chegamos em um indeterminação. Antes de qualquer coisa temos que tentar tirá-la daí.

Para isso, vamos fazer um algebrismo malandro na fração dentro do limite.

(x - 1)/(sqrt(2 x - x^2) - 1)

Vamos começar multiplicando essa fração pelo conjugado do denominador, que é sqrt(2 x - x^2) + 1

Vamos ter

(x - 1)/(sqrt(2 x - x^2) - 1) * (sqrt(2 x - x^2) + 1)/(sqrt(2 x - x^2) + 1) = ((x - 1) (sqrt(2 x - x^2) + 1))/(2 x - x^2 - 1)

Passo 2

Agora, temos que fatorar aquele denominador

2 x - x^2 - 1

Organizando e colocando - 1 em evidência, vamos ter

- (x^2 - 2 x + 1)

Isso é um trinômio quadrado perfeito,

- (x - 1)^2

Assim, nossa fração vai ficar

((x - 1) (sqrt(2 x - x^2) + 1))/(- (x - 1)^2)

Simplificando o x - 1

(sqrt(2 x - x^2) + 1)/(- (x - 1))

Passo 3

Vamos substituir agora isso no limite e ver o que temos

underset(x -> 1^+)(lim) (sqrt(2 x - x^2) + 1)/(- (x - 1)) = (sqrt(2 (1) - 1^2) + 1)/(- (1 - 1)) = (sqrt(2 - 1) + 1)/(0) = (sqrt(1) + 1)/(0) = (2)/(0)

Opa, deu um número dividido por 0 , quando isso acontecer significa que o nosso limite vai para infinito.

Aqui, falta só descobrir o sinal do infinito que ele vai, se vai ser + oo ou - oo

Para sabermos isso, precisamos analisar o sinal da expressão dentro do limite

Passo 4

Vamos olhar a fração que temos no limite

(sqrt(2 x - x^2) + 1)/(- (x - 1))

A questão pediu o limite lateral pela direita. Que é o limite por valores maiores que 1 .

O numerador é uma raiz quadrada mais 1 , a raiz é sempre positiva. Somando 1 vai continuar positivo. Então nosso numerador vai ser positivo.

O denominador vai ser x - 1 , como estamos com valores de x maiores que 1 , ele vai ser positivo. Mas cuidado, tem aquele na frente, o que faz com que o denominador no final fique negativo.

Uma fração com numerador positivo e denominador negativo, vai ser negativa.

Então vamos ter que essa expressão por valores maiores que 1 é negativa. O que vai fazer com que aquele oo que vimos seja - oo

underset(x -> 1^+)(lim) (x - 1)/(sqrt(2 x - x^2) - 1) = - oo

Resposta

- oo

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lim y → 3 ⁡ y - 1 y + 5
lim y → 0 ⁡ y 2 - 1 3
lim t → - 1 ⁡ t + 4 t - 2
lim x → 2 ⁡ 3 x 2 x 3 - 3 x + 4
Prove que se lim x → a ⁡ f x existir e for L , então lim x → a ⁡ f x existe e é L .