Enunciado

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Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição dada.

x 2 + 1 d y d x + 2 x y = x 2 ; y = 0   q u a n d o   x = - 1

Passo 1

Verificamos se a equação diferencial é de primeira ordem em y   colocando-a na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

Dividimos então a equação por x 2 + 1 :

d y d x + 2 x x 2 + 1 y = x 2 1 + x 2

Agora a equação está do jeito que queríamos, com P x = 2 x x 2 + 1 e Q x = x 2 1 + x 2 .

Passo 2

Como d x 2 + 1 d x = 2 x , temos:

x 2 + 1 d y d x + 2 x y = x 2 ⇒ x 2 + 1 d y d x + d x 2 + 1 d x y = x 2 ⇒ d x 2 + 1 y d x = x 2

Agora integrando:

∫ d ( x 2 + 1 y ) = ∫ x 2 d x ⇒ x 2 + 1 y = x 3 3 + C ⇒ y = x 3 + C ' 3 x 2 + 1

Passo 3

Pelo enunciado, y - 1 = 0 . Então:

0 = - 1 3 + C ' 3 - 1 2 + 1 = C ' - 1 6 ⇒ C ' = 1

⇒ y = x 3 + 1 3 x 2 + 1

Resposta

y = x 3 + 1 3 x 2 + 1

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