Enunciado

Ache o valor exato da integral definida usando a relação entre soma de Riemann e integral definida.

∫ 2 4 x 2   d x

Passo 1

A relação entre integral definida e soma de Riemann pedida pelo problema é a seguinte:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ξ i Δ x

Chamaremos de “equação (1)” para invoca-la no futuro. 😉

Temos uma integral definida, ou seja, uma integral em que conhecemos os limites de integração a e b . Iremos então realizar nossos cálculos dentro desses limites, no intervalo [ 2 , 4 ] .

Considerando n subintervalos, então:

Δ x = b - a n = 4 - 2 n = 2 n

Passo 2

Se escolhermos ξ i como o extremo direito de cada subintervalo, teremos:

ξ i = a + i Δ x

Então:

ξ 1 = 2 + 2 n ,   ξ 2 = 2 + 2 2 n ,   ξ 3 = 2 + 3 2 n , … ,   ξ i = 2 + i 2 n , … , ξ n = 2 + n 2 n

Como f x = x 2 ,

f ξ i = 2 + 2 i n 2 = 4 + 8 i n + 4 i 2 n 2

Passo 3

Logo, usando a equação (1) e aplicando as propriedades de somatório, teremos:

∫ 2 4 x 2   d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 4 + 8 i n + 4 i 2 n 2 2 n

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 n + 16 i n 2 + 8 i 2 n 3

= l i m n → + ∞ ∑ i = 1 n 8 n + ∑ i = 1 n 16 i n 2 + ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3  

Como n é uma constante, pode sair do somatório multiplicando.

= l i m n → + ∞ 8 n ∑ i = 1 n 1 + 16 n 2 ∑ i = 1 n i + 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2  

Lembrando que:

∑ i = 1 n i 2 = n n + 1 2 n + 1 6

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2

Teremos:

= l i m n → + ∞ 8 n n + 16 n 2 n ( n + 1 ) 2 + 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6

Expandindo a equação:

= lim n → + ∞ ⁡ 8 + 8 + 8 n + ( 8 3 + 4 n + 4 3 n 2

= l i m n → + ∞ 56 3 + 12 n + 4 3 n 2

Aplicando o limite:

= lim n → + ∞ ⁡ 56 3 + 0 + 0  

Resposta

Dessa maneira, o valor da integral definida é:

∫ 2 4 x 2   d x = 18,6667

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o)∫ e - 2 x d x
m)∫ ( e x + 4 ) d x
h)∫ x + x 2 x 2 d x
n)∫ e 2 x d x
j)∫ x 2 + 3 x d x