Enunciado

Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por dois planos paralelos do mesmo lado do centro da esfera. A distância do centro da esfera a um dos planos é 1 cm e a distância entre os planos é 6 cm. Ache o volume da porção sólida da esfera entre os dois planos.

Passo 1

Vamos sempre pensar numa esfera como a parte interna da circunferência rotacionada em torno de algum dos eixos, isso vai nos ajudar a visualizar melhor! Ver em ( x , y ) é muito melhor do que em ( x , y , z ) !

Não sabia da informação que falei? Agora já sabe, não da mole nisso!

Para efeito de facilitar o nosso trabalho iremos admitir o centro da circunferência e consequentemente da esfera no seu centro, então a equação dessa circunferência de raio 10 será isso aqui ó:

x 2 + y 2 ≤ 100

Isolaremos o y , pois vamos fazer a circunferência rotacionar no eixo x .

y 2 ≤ 100 - x 2

Passo 2

Lembra quais os limites de integração, aqueles números pequenos em cima da integral. Então para calcularmos o volume da esfera, utilizaríamos o intervalo de - r a r , em que r é o raio e faríamos a integral abaixo:

V = ∫ - r r f 2 ( x ) d x

Na nossa questão seria de - 10   a   10 , mas tem dois planos paralelos do mesmo lado do centro que cortam essa esfera. E agora?? Calma! Faremos um esboço do desenho!

Informação importante é que estão do mesmo lado em relação ao centro!

Obs: Imagem meramente ilustrativa, tipo hambúrguer de lanchonete, não está nas abscissas certinhas!

Passo 3

Falamos la no início que iríamos considera o centro como ( 0,0 ) . Ora! Como o centro e o primeiro plano estão do mesmo lado e possuem uma distância igual a 1. Podemos afirmar que o primeiro plano possui abscissa igual a 1.

Já o segundo plano tem uma distância de 6 , mas de quem?? Da circunferência ou do outro plano? Aaaa, já matou né! É do outro plano então tem abscissa de 7, pois é a abscissa do primeiro plano mais a distância!

Agora vamos partir para a integral! Com o limite de integração de 1 a 7 hein!

V = π ∫ 1 7 100 - x 2 d x = π ∫ 1 7 100 d x - ∫ 1 7 x 2 d x = π 100 x 7 1 - x 3 3 7 1 = 486 π

Resposta

V = 486 π

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