Enunciado

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(a)Escreva uma integral para área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y .(b) Use o recurso de integração numérica de sua calculadora para calcular as áreas da superfície com precisão de quatro casas decimais.

y = x - 2 ,     1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Vamos resolver o item a) primeiro, beleza?

Precisamos encontrar a área da superfície em torno do (i) eixo x e (ii) eixo y . Temos que a fórmula

S = ∫     2 π y   d s ,

para rotação em relação ao eixo x , e

S = ∫     2 π x   d s

onde d s = 1 + d y d x 2 d x .

Vamos resolver a primeira parte, ou seja, i)

y = x - 2 ⇒ d y d x = - 2   x - 3 ⇒ d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + 4 x - 6     d x

Sendo assim, a integral que corresponde a área da superfície rotacionada em relação ao eixo x é

S = ∫   2 π y   d s = ∫ 1 2   2 π (   x - 2 ) 1 + 4 x - 6     d x  

Passo 2

Resolvendo ii), a integral que corresponde a área da rotação em relação ao eixo y

S = ∫   2 π x   d s =   ∫ 1 2   2 π x 1 + 4 x - 6     d x    

Passo 3

Resolvendo o item b), ou seja, usando a calculadora, temos que

S = ∫ 1 2   2 π (   x - 2 ) 1 + 4 x - 6     d x   =   4,4567

E,

S = ∫ 1 2   2 π x 1 + 4 x - 6     d x   = 11,7299

Resposta

S x =   4,4567 e S y = 11,7299

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