Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x sen ⁡ y d y d x + cos ⁡ y =   - x 2 e x

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x sen ⁡ y d y d x + cos ⁡ y =   - x 2 e x

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

E se a gente fizer u =   - cos ⁡ y ?

Passo 2

Bom, derivando u =   - cos ⁡ y a gente tem:

x sen ⁡ y d y d x + cos ⁡ y =   - x 2 e x

Daí, temos:

d u d x = sen ⁡ y   d y d x

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

x sen ⁡ y d y d x + cos ⁡ y =   - x 2 e x

x d u d x - u = - x 2 e x

d u d x - u x = - x e x

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = - 1 x

q x = - x e x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ - 1 x   d x ∫ e ∫ - 1 x   d x ⋅ - x e x   d x

u = e ln ⁡ x ∫ e - ln ⁡ x ⋅ - x e x   d x

u = x ∫ - 1 x ⋅ x   e x   d x

u = x [ - e x + C ]  

u = - x e x + C x

E aí é só voltar para y ...

- cos ⁡ y = - x e x + C x  

cos ⁡ y = x e x - C x

E terminamos por aqui😉

Resposta

cos ⁡ y = x e x - C x

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