Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 2 d y d x + 2 x y = x 4 y 2 + 1

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x 2 d y d x + 2 x y = x 4 y 2 + 1

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Vamos tentar transformar ela numa equação separável...

Vamos tentar fazer u = x 2 y , porque aí vamos ter a derivada ali, olha só...

Passo 2

Bom, se u = x 2 y , temos:

d u d x = 2 x y + x 2 d y d x  

Substituindo isso na nossa EDO...

x 2 d y d x + 2 x y = x 4 y 2 + 1

d u d x = u 2 + 1

d u = d x u 2 + 1

d x = d u u 2 + 1

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d u u 2 + 1 = ∫     d x

a r c t g   u = x + C

E como u = x 2 y , temos:

a r c t g   x 2 y - x = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

a r c t g   x 2 y - x = C

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