Enunciado

Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor possível da integral a seguir.

∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 ) d x

Passo 1

Como visto nos exercícios anteriores temos as seguintes relações

(i) Se f ( x )   é continua em m ≤ f x para todo x em [a,b], então, segue que

m b - a ≤   ∫ b a f x d x

(ii) Se f ( x )   é continua em f x ≤ M para todo x em [a,b], então , segue que

∫ b a f x d x ≤   M b - a

A relação (i) nos permite calcular o menor valor da integral enquanto pela relação (ii) podemos calcular o seu valor máximo.

Mas para pra refletir quem são esses valores e como econtrá-los, lembra do teorema de Weierstrass ??

Vamos relembrá-lo...

Se f é uma função contínua num intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isso garante a existência de x m á x i m o   e x m i n i m o no intervalo, de modo que

f x m i n i m o ≤ f x ≤ f ( x m a x i m o )

Para todo x do nosso intervalo.

Se integrarmos a desigualdade acima chegamos nas relações (i) e (ii).

m b - a = f x m i n i m o b - a ≤ ∫ b a f x d x ≤   f x m a x i m o b - a = M ( b - a )

Passo 2

Vamos analisar essa função para x   ϵ   [ - 1,4 ] , essa função é um polinômio de grau 4, vemos que f ( x )   =   f ( - x ) , logo ela é uma função par, ou seja se α é raiz - α também é. Vamos calcular seus valores máximo e mínimo.

f x = x 4 - 8 x 2 + 16   ⟹ f ' x = 4 x 3 - 16 x = 0  

Portanto temos x   =   0 ,     x = 2   e   x =   - 2

Vamos analisar a segunda derivada para saber quais são pontos de máximo e mínimo

f ' ' x = 12 x 2 - 16 ,   f ' ' 0 < 0 , f ' ' 2 > 0   e   f ' ' - 2 > 0

Logo f 0   é   p o n t o   d e   m á x i m o   e   f ± 2     p o n t o s   d e   m i n i m o

Mas

f ± 2 = 0

Ou seja são raízes de f ( x )  

Portanto o valor mínimo e máximo de f x é f ± 2 = 0 e f 0 = 16 , respectivamente.

m = f ± 2 = 0   e   M = f 0 = 16

Passo 3

O valor máximo e minimo da integral será:

f ± 2 4 - ( - 1 ) = 0 ≤ ∫ - 1 4 ( x 4 - 8 x 2 + 16 ) d x ≤   f 0 4 - ( - 1 ) = 16 × 5 = 80

0 ≤ ∫ - 2 4 2 x 2 d x ≤ 80

Resposta

Valor mínimo = 0

Valor máximo = 80

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