Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 1 2 x 2 + 5   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x 2 + 5 no intervalo [ - 1 ,   2 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos os valores máximo e mínimo da função no intervalo, precisamos primeiro procurar os pontos críticos da função no intervalo. Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = 1 2 x 2 + 5 ⋅ 2 x = x x 2 + 5

Teremos um ponto crítico quando f ' ( x ) for igual a zero ou não existir. Como a expressão existe para todo x real, queremos f ' x = 0 que acontece quando x = 0 , e temos aí então um ponto crítico. Além disso, quando x < 0 temos f ' x < 0 (função decrescente) e quando x > 0 temos f ' x > 0 (função crescente). Portanto temos em x = 0 um mínimo local. Agora basta compararmos o valor de f x em x = 0 e nos extremos do intervalo para descobrirmos os valores máximo e mínimo absolutos da função.

Passo 3

Calculamos agora o valor da função em x = 0 e nos extremos do intervalo x = - 1 e x = 2 .

f 0 = 0 2 + 5 = 5

f - 1 = - 1 2 + 5 = 1 + 5 = 6

f 2 = 2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3

Como 6 < 3 , agora já temos os valores mínimo( m = 5 ) e máximo ( M = 3 ) , da função no intervalo [-1,2] e podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 1 ,   2 ] , m = 5 e M = 3 , sabemos então que:

m 2 - ( - 1 ) ≤   ∫ - 1 2 x 2 + 5   d x ≤ M 2 - ( - 1 )

⇒ 5 ⋅ 3 ≤   ∫ - 1 2 x 2 + 5   d x ≤ 3 ⋅ 3

⇒ 3 5 ≤ ∫ - 1 2 x 2 + 5   d x ≤ 9

Resposta

∫ - 1 2 x 2 + 5   d x ∈ [ 3 5 ,   9 ]

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