Enunciado

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 1 2 x x + 2   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x x + 2 no intervalo [ - 1 ,   2 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Pra acharmos os valores máximo e mínimo da função no intervalo, precisamos primeiro procurar os pontos críticos da função no intervalo. Derivando f ( x ) , temos:

f ' x = x ' ⋅ x + 2 - x + 2 ' ⋅ x x + 2 2 = 1 x + 2 - 1 x x + 2 2 = 2 x + 2 2

Teremos um ponto crítico quando f ' ( x ) for igual a zero ou não existir. A expressão de f ' ( x ) nunca zera, mas não existe quando o denominador é 0, ou seja, para x = - 2 . Mas como esse número está fora do nosso intervalo, não temos pontos críticos no nosso intervalo.

Além disso, f ' x é sempre positivo, então nossao função é estritamente crescente. Fica claro então que seu mínimo acontece no início do intervalo, com m = f - 1 = - 1 - 1 + 2 = - 1 e seu máximo acontece no final, M = f 2 = 2 2 + 2 = 2 4 = 1 2 .

Agora que já temos os valores mínimo e máximo da função no intervalo [-1,2], podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 1 ,   2 ] , m = - 1 e M = 1 2 , sabemos então que:

m 2 - ( - 1 ) ≤   ∫ - 1 2 x x + 2 d x ≤ M 2 - ( - 1 )

⇒ - 1 ⋅ 3 ≤   ∫ - 1 2 x x + 2 d x ≤ 1 2 ⋅ 3

⇒ - 3 ≤ ∫ - 1 2 x x + 2 d x ≤ 3 2

Resposta

∫ - 1 2 x x + 2   d x ∈ [ - 3 ,   3 2 ]

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