Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (através de qualquer método) e o seu raio de convergência. Faça o gráfico de f e os seus primeiros polinômios de Taylor no mesmo gráfico. O que você percebe sobre a relação entre esses polinômios e f ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = cos ⁡ x 2

Com o auxílio da Tabela 1, temos que:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 n 2 n !

Passo 2

Dessa forma:

cos ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 2 2 n 2 n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n 2 n !

= 1 - 1 2 x 4 + 1 24 x 8 - 1 720 x 12 + …

Passo 3

A série para cos ⁡ x converge para qualquer x , então o mesmo é verdade para f ( x ) , sendo assim:

R = ∞

O gráfico que compara f e os primeiros polinômios de Taylor é mostrado a seguir:

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n . x 4 n 2 n !

R = ∞

Através do gráfico é possível notar que T n ( x ) se aproxima de f ( x ) próximo de zero conforme n aumenta.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na
Um carro está se movendo com velocidade de 20 m / s e aceleração de 2 m / s 2 em um dado instante. Usando um polinômio de Taylor de grau 2 , estime a distância que o carro percorre no próximo segundo.
Use a informação do Exercício 16 para estimar s en ⁡ 3 8 ° com precisão de cinco casas decimais.
Use a informação do Exercício 5 para estimar cos ⁡ 80 ° com precisão de cinco casas decimais.