Enunciado

Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado.

f x ,   y = e y x + e y   ,                     R = 0 ,   4 × [ 0 ,   1 ]

Passo 1

Pessoal, o valor médio f m de uma função f é dado pela fórmula:

f m = 1 A ( R ) ∬ R   f x ,   y   d A

Pelo enunciado, R é o retângulo 0 ,   4 × 0 ,   1 , e portanto, sua área é:

A R = 4 - 0 1 - 0 = 4

Então nossa fórmula vai ficar assim:

f m = 1 4 ∫ 0 4 ∫ 0 1 e y x + e y   d y   d x

Passo 2

Show! Agora vamos calcular a integral dupla:

f m = 1 4 ∫ 0 4 ∫ 0 1 e y x + e y   d y   d x = 1 4 ∫ 0 4 x + e y 3 2 3 2 0 1 d x = 1 4 ∫ 0 4 2 3 x + e 3 2 - x + 1 3 2   d x = 1 6 x + e 5 2 5 2 - x + 1 5 2 5 2 0 4 = 1 15 4 + e 5 2 - 5 5 2 - e 5 2 + 1

Resposta

1 15 4 + e 5 2 - 5 5 2 - e 5 2 + 1

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Seja V o volume do sólido que se encontra abaixo do gráfico de f x , y = 52 - x 2 - y 2 e acima do retângulo dado por 2 ≤ x ≤ 4 , 2 ≤ y ≤ 6 . Use as linhas x = 3 e y = 4 para dividir R em sub-retângul
Se R = - 1,3× [ 0,2 ] , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∬ R y 2 - 2 x 2d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.
Repita o exercício 15 para a integral ∬ R cos ⁡ ( x 4 + y 4 ) d A
Se R = 0,1 × [ 0,1 ] , mostre que 0 ≤ ∬ R sen ⁡ x + y d A ≤ 1 .
Utilize uma calculadora programável ou computador (ou comando-soma de um CAS) para estimar ∬ R e - x 2 - y 2 d A Onde R = 0,1 × 0,1 . Utilize a Regra do Ponto Médio com os seguintes números quadrados