Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 1 - s en ⁡ θ

r = 1

Passo 1

Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.

Para isso, igualamos as duas curvas:

1 - sen ⁡ θ = 1

s en ⁡ θ = 0

θ = 0   o u   2 π

Ou

θ = π

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam.

Observando nossa figura, vemos o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π ≤ θ ≤ 2 π

Pois a região sombreada está abaixo do eixo horizontal, ok? E não podemos esquecer que o ponto θ = 0 é coincidente com o ponto θ = 2 π .

Então, o intervalo de integração seria

a = π

b = 2 π

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 1 - sen ⁡ θ

r = 1

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = 1 2 ∫ π 2 π 1 - sen ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ π 2 π 1 2 d θ

A = 1 2 ∫ π 2 π 1 - 2 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ π 2 π 1 d θ

A = 1 2 ∫ π 2 π 1 - 2 sen ⁡ θ + 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ - 1 2 ∫ π 2 π 1 d θ

A = 1 2 θ + 2 cos ⁡ θ + 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 2 π π - 1 2 θ 2 π π

A = 1 2 θ + 2 cos ⁡ θ + 1 2 θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ - θ 2 π π

A = 1 2 1 2 θ + 2 cos ⁡ θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 2 π π

A = 1 2 1 2 2 π + 2 cos ⁡ 2 π - 1 4 sen ⁡ 4 π - 1 2 π + 2 cos ⁡ π - 1 4 sen ⁡ 2 π

A = 1 2 π + 2 - π 2 - 2

A = 1 2 π 2 + 4

A = π 4 + 2

Resposta

A = π 4 + 2

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Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 + 2 cos ⁡ θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 - s e nθ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e n4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 4 c o s 3 θ