Enunciado

Uma barra homogêna mede 3m de comprimento. Se o seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa por uma de suas extremidades é 22,5   k g ∙ m 2 , determinar a densidade linear da barra.

Passo 1

O momento de inércia I de uma barra homogêna, de seção transversal (espessura) desprezível, é definido pela seguinte expressão:

I = ∫ 0 L r ( x ) 2 ∙ λ ( x ) ∙ d x

Em que L é o comprimento da barra, λ ( x ) é a densidade linear da barra, r ( x ) é a distância da posição do eixo de rotação a um ponto x qualquer ( x ' - x ) , e d m é o infinitésimo da massa M da barra.

Nesse caso, temos o valor do momento de inércia e desconhecemos o da densidade linear, λ ( x ) , que aqui, para fins práticos, assumimos como constante, sendo λ x = k . Resolvendo a integral, iremos determiná-la.

Também nesse caso, como o eixo passa por uma das extremidades, podemos considerá-la como a extremidade da origem, x = 0 , e teremos para r ( x ) 2 = ( 0 - x ) 2 = x 2 .

Passo 2

Teremos então:

I = ∫ 0 3 x 2 ∙ k ∙ d x

I = k ∫ 0 3 x 2 ∙ d x

I = k 3 ∙ x 3 0 3

I = k 3 ∙ 27 = 9 k

9 k = 22,5

∴ k = λ x = 2,5   k g ∙ m 2

Resposta

∴ λ x = 2,5   k g ∙ m 2

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