Enunciado

Avalie as somas superiores e inferiores para f x = x 2 + 1   , - 1 ≤ x ≤ 1   , com n = 3 e 4. Ilustre com diagramas como Figura 14.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente avaliar as somas superiores e inferiores para f x = x 2 + 1   , no intervalo [ - 1 ,   1 ] , com n = 3 e n = 8 . E ilustrar tudo isso com os diagramas dos retângulos.

Pra isso, nós precisamos lembrar que:

A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

A = lim n → ∞ ⁡   R n =     l i m n → ∞   f x 1 Δ x + f x 2 Δ x + ⋯ + f x n Δ x    

Então, A = l i m n → ∞     ∑ i = 0 n   f x i Δ x , onde Δ x = b - a n .

Sendo assim, vamos substituir os dados da função na fórmula do somatório e estimar a área sob o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico da função f x = x 2 + 1 :

Observe que as linhas em azul estão delimitando nosso intervalo [ - 1 ,   1 ] . Agora vamos usar o gráfico para estimar a nossa área.

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma superior através de retângulos. Perceba que da nossa fórmula a = - 1 e b = 1 . Dessa forma, temos:

Δ x = 1 - ( - 1 ) n

Como precisamos de 4 retângulos, temos n = 4 . Daí,

Δ x = 2 4 = 1 2

Então, vamos definir os intervalos:

- 1 , - 1 2 ; - 1 2 , 0 ; 0 , 1 2   ; 1 2 , 1 .  

Passo 4

Para encontrar a soma superior, vamos escolher os maiores valores do intervalo.

Como f é decrescente em x = - 1 ate x = 0 , corresponde aos extremos da esquerda do intervalo. E a partir de x = 0 , os da direita. Ou seja x 1 = - 1 ; x 2 = - 1 2 ; x 3 = 1 ; x 4 = 1 .

Substituindo isso na fórmula de área do somatório, temos:

S =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4  

S =   f - 1 + f - 1 2 + ⋯ + f 1 1 2

Olhando no gráfico, vamos extrair os valores de f ( x i ) :

S   = 2 + 1,25 + 1,25 + 2 ⋅ 1 2

S = 3,25

Que correspondem aos retângulos:

Passo 5

De modo semelhante, temos para a soma inferior:

x 1 = - 1 2 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 ; x 4 = 1 2

Substituindo na fórmula:

I =   f - 1 + f - 1 2 + ⋯ + f 1 1 2

I = 1,25 + 1 + 1 + 1,25   ⋅ 1 2

E calculando:

I = 2 , 25  

Desenhando esses retângulos no gráfico, temos:

Passo 6

Agora vamos usar 3 retângulos, ou seja, quando n = 3 . Daí, temos: Δ x = 2 3

Definindo os intervalos:

- 1 , - 1 3 ; - 1 3 , 1 3 ; 1 3 , 1   .

Vamos achar a soma superior, escolhendo os maiores valores do intervalo.

Como f é decrescente em x = - 1 ate x = 0 , corresponde aos extremos da esquerda do intervalo. E a partir de x = 0 , os da direita. Ou seja:

x 1 = - 1 ; x 2 = 1 3 ; x 3 = 1

Substituindo esses pontos na fórmula do somatório, temos:

S =   ∑ i = 1 n   f x i Δ x   = f x 1 + f x 2 + ⋯ + f x 4  

S =   f - 1 + f 1 3 + f 1 2 3  

Olhando no gráfico, pra extrair os f ( x i ) :

S   = 2 + 1,11 + 2 ⋅ 2 3

S = 5,11

Que correspondem aos retângulos:

Passo 7

Da mesma forma, calculando a soma inferior, vamos ter:

x 1 = - 1 3 ; x 2 = - 1 3 ; x 3 = 1 3

Daí, extraindo os valores no gráfico e calculando, temos:

I =   f - 1 3 + f - 1 3 + f 1 3 2 3

I =   1,1 + 1,1 + 1 . , 1 ⋅ 2 3

I =   2,2

Esboçando o diagrama:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Sendo S   = Soma superior e I = soma inferior, temos:

- para n = 3 , S = 5,11 e I = 2,2

- para n = 4 ,   S = 3,25 e I = 2,25

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