Enunciado

Calcule a soma de Riemann para , f x = x 2 - 2 x , 0 ≤ x ≤ 3 com seis subintervalos, tomando os pontos amostrais como as extremidades direitas. O que representa a soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.

Passo 1

Opa! E aí, bora resolver essa questão?! O enunciado pede pra a gente calcular a soma de Riemann para essa função aqui:

f x = x 2 - 2 x

No intervalo 2 ≤ x ≤ 14 . Ou seja, queremos calcular:

∫ 0 3 x 2 - 2 x   d x

O próprio enunciado já diz que a gente deve resolver o problema pela soma de Riemann, pra isso a gente vai usar essa forma geral aqui:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i )   Δ x

Onde Δ x é dado por:

Δ x = b - a n = 3 - 0 6 = 0,5

Como a gente vai pegar os pontos da extremidade direita de cada intervalo, para achar cada ponto fazemos:

x i = a + i Δ x

Pro nosso caso teremos:

x 1 =   0,5   ; x 2 = 1 ; x 3 = 1,5   ; x 4 = 2 ; x 5 = 2,5   ,   x 6 = 3  

Na prática, pra fazer o exercício, vamos abrir a integral ali de cima e vamos ficar com:

R n = Δ x f x 1 + f x 2 + … + f x n

Passo 2

Substituindo e calculando:

R 6 = 0,5 f 0,5 + f 1 + f 1 , 5 + f 2 + f 2 , 5 + f 3

Lembrando que:

f x = x 2 - 2 x

Temos então:

R 6 = 0,5 - 0,75 ; - 1 ; - 0,7 ; , 0 ; 1,25 ; 3

R 6 = 0,875

Passo 3

Agora a gente vai tentar entender, geometricamente o que fizemos nesse exercício!

A nossa função é f x = x 2 - 2 x no intervalo 0 ≤ x ≤ 3 , se esboçarmos essa curva, teremos:

A integral de f x nesse intervalo é a área dessa região pintada de vermelho!

Na soma de Riemann a gente dividiu esse intervalo de x em 6 pedacinhos e calculamos Δ x × f ( x i ) . Essa multiplicação te lembra alguma coisa?! O que fizemos pra cada intervalo foi:

b a s e × a l t u r a

Ou seja, calculamos a área desses 6 retângulos e isso nos dá o valor aproximado da integral. Se a gente desenhar o que fizemos, vamos ter isso daqui:

Repara que a “altura” é sempre o ponto mais a direita de cada intervalo, como o enunciado pediu.

Agora, você concorda comigo que quanto menor for a largura do retângulo e mais retângulos tivermos, mais precisa vai ser a nossa conta. E que quando n tende a infinito a gente tem o valor exato da integral?!

Esse é o espirito da coisa!

Resposta

R 6 = 0,875

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Se a função: f x = x 2 - 4 ,0 ≤ x ≤ 3 Faça a soma de Reimann até n = 6 , o que isso representa? Faça um diagrama.
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