Enunciado

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 0 1 x 3 - 3 x 2   d x

Passo 1

Olá, Yuri aqui e irei estar lhe ajudando a resolver essa atividade de integrais.

O teorema 4 diz que:

∫ a b f ( x )   d x = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Com x i = a + i   Δ x e Δ x = b - a n    

Bora lá!

Passo 2

Da definição, temos que a =   0 e b = 1 .   Daí, Δ x = 1 - 0 n = 1 n     e x i = 0 + i   Δ x =   i n .

Substituindo, temos que

∫ 0 1 x 3 - 3 x 2   d x = l i m x → ∞   ∑ i = 1 n i n 3 - 3 i n 2 ⋅ 1 n

Abrindo a potência de 3, e tirando os termos que não dependem de i do somatório.

l i m x → ∞   ∑ i = 1 n i n 3 - 3 i n 2 ⋅ 1 n =   l i m x → ∞ 1 n   ∑ i = 1 n i 3 n 3 - 3 i 2 n 2

Arrumando um pouquinho, usando as propriedades do somatório:

l i m x → ∞ 1 n   ∑ i = 1 n i 3 n 3 - 3 i 2 n 2 = l i m x → ∞ 1 n   ∑ i = 1 n i 3 n 3 - ∑ i = 1 n 3 i 2 n 2 =

= l i m x → ∞ 1 n 1 n 3   ∑ i = 1 n i 3 - 3 n 2 ∑ i = 1 n i 2

Multiplicando os termos e usando o fato de que:

∑ 𝑘 = 1 𝑛 𝑘 = 1 2 𝑛 𝑛 + 1

∑ 𝑘 = 1 𝑛 𝑘 2 = 1 6 𝑛 𝑛 + 1 2 𝑛 + 1

∑ 𝑘 = 1 𝑛 𝑘 3 = 1 4 𝑛 2 𝑛 + 1 2

Aplicando:

∑ i = 1 n i 3   =   n n + 1 2 2   e ∑ i = 1 n i 2 =   n n + 1 2 n + 1 6 :

lim 𝑥 → ∞ ⁡ 1 𝑛 1 𝑛 3     ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖 3   − 3 𝑛 2   ∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑖 2   =  

lim 𝑥 → ∞ ⁡ 1 𝑛 4 𝑛 𝑛 + 1 2 2 − 3 𝑛 3 𝑛 𝑛 + 1 2 𝑛 + 1 6 =

Passo 3

Arrumando esse monstrinho:

l i m x → ∞ 1 n 4 n n + 1 2 2 - 3 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 =

= l i m x → ∞ 1 n 4 n 2 n + 1 ( n + 1 ) 4 - 3 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 =

= l i m x → ∞ 1 n 2 n + 1 ( n + 1 ) 4 - 1 n 2 n + 1 2 n + 1 2 =

  =   l i m x → ∞ 1 4 n + 1 n n + 1 n - 1 2   n + 1 n   2 n + 1 n =

Aqui iremos isolar 1 𝑛 para que possamos eliminá-lo no momento do c��lculo do limite:

= l i m x → ∞ 1 4   1 + 1 n 1 + 1 n - 1 2 1 + 1 n 2 + 1 n

Aplicando o limite, todos os termos 1 n vão para 0 :

l i m x → ∞ 1 4   1 + 1 n 1 + 1 n - 1 2 1 + 1 n 2 + 1 n   =   - 3 4

Pronto!! Acabou, ufa!

Resposta

∫ 0 1 x 3 - 3 x 2   d x =   - 3 4  

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