Avalie a integral.

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x

Passo 1

Primeiramente, vamos tornar o termo do denominador redutível para aplicar frações parciais:

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 )

Aplicando frações parciais:

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A x + B x + C x 2 + 3

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = A x 2 + 3 + ( B x + C ) x x x 2 + 3

x 2 - x + 6 = A x 2 + 3 + B x 2 + C x

Considerando x = 0, o termo de B irá zerar e será possível calcular o valor de A:

( 0 ) 2 - 0 + 6 = A 0 2 + 3 + B ( 0 ) 2 C(0)

6 = 3 A

A = 2

Considerando agora x = 1 e o valor encontrado para A, temos que:

( 1 ) 2 - 1 + 6 = 2 1 2 + 3 + B ( 1 ) 2 + C ( 1 )

- 2 = B + C  

Considerando x = 2:

( 2 ) 2 - 2 + 6 = 2 2 2 + 3 + B ( 2 ) 2 + C ( 2 )

- 6 = 4 B + 2 C

Agora vamos resolver o sistema:

B + C = - 2 4 B + 2 C = - 6

Multiplicando B + C = - 2 por (-2) vamos obter que:

- 2 B - 2 C = 4 4 B + 2 C = - 6

Resolvendo o sistema:

2 B =   - 2

B = - 1

Substituindo o valor de B na primeira equação do sistema:

- 1 + C = - 2

C = - 1

Agora substituiremos os valores dos coeficientes nas frações parciais:

x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) = 2 x - x - 1 x 2 + 3

Pronto, agora é só resolver!

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

∫ x 2 - x + 6 x ( x 2 + 3 ) d x = ∫ 2 x - x - 1 x 2 + 3 d x

Na primeira integral temos que:

∫ 2 x d x = 2 ln ⁡ x + C

Na segunda integral faremos substituição simples:

∫ x x 2 + 3 d x

u = x 2 + 3 ,  

d u = 2 x d x   →   d u 2 = x d x

∫ 1 u d u 2 =   1 2 ∫ 1 u d u =   1 2 ln ⁡ u + C    

Retornando para x:

∫ x x 2 + 3 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 + C

Na terceira integral temos que:

∫ 1 x 2 + 3 d x = a r c t a n ⁡ ( x 3 ) 3 + C

Então temos que:

∫ 2 x - x - 1 x 2 + 3 d x = 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - a r c t a n ⁡ ( x 3 ) 3 + C

Moleza né? :P

Resposta

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x d x = 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 3 - a r c t a n ⁡ ( x 3 ) 3 + C

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