d) ∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x  

Passo 1

Esse tipo de questão é bem comum de aparecer, então vamos entender a ideia para resolver.

Primeiro vamos fazer a seguinte substituição:

u = c o s ⁡ ( 2 x )

Derivando,

d u = - s e n 2 x ⋅ 2   d x

Isolando o termo que nos interessa:

- d u 2 = s e n 2 x   d x

Essa ideia é boa, pois temos o termo s e n 2 x   d x na nossa integral 😉

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era:

I = ∫ s e n 2 x ⋅ cos 2 ⁡ 2 x d x = ∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) ⋅ sen ⁡ 2 x d x  

E vai ficar assim ó:

I = ∫ u 2 - d u 2 = - 1 2 ⋅ ∫ u 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora bora finalizar!

I = - 1 2 ⋅ ∫ u 2 d u = - 1 2 ⋅ u 2 + 1 2 + 1 + c = - 1 2 ⋅ u 3 3 + c

Voltando para a variável c o s ( x ) :

I = - cos 3 ⁡ 2 x 6 + c

Resposta

- cos 3 ⁡ 2 x 6 + c

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