Avalie a integral.

∫ x 2 a 2 - x 2 3 2 d x

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo x = a sin ⁡ θ , onde - π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Logo, derivando temos d x = a cos ⁡ θ d θ . Assim podemos substituir!!

∫ ( a sin ⁡ θ ) 2 a cos ⁡ θ d θ a 2 - ( a sin ⁡ θ ) 2 3 2 = ∫ ( a sin ⁡ θ ) 2 a cos ⁡ θ d θ a 3 cos 3 ⁡ θ

Simplificamos a integral e teremos:

∫ ( a sin ⁡ θ ) 2 a cos ⁡ θ d θ a 3 cos 3 ⁡ θ = ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Isso nos mostra que a integral é:

∫ tan 2 ⁡ θ d θ

Assim podemos usar a formula trigonométrica de tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Essa integral tem como resultado:

∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ = tan ⁡ θ - θ + C

Passo 2

Esboçando o triangulo retângulo associado, temos:

Então,

∫ x 2 a 2 - x 2 3 2 d x = x a 2 - x 2 - arcsin ⁡ x a + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 2 a 2 - x 2 3 2 d x = x a 2 - x 2 - arcsin ⁡ x a + C

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