Enunciado

35. Prove que se f for contínua e se m <= f ( x ) <= M em [ a , b ] , então

m ( b - a ) <= int_a^b f (x) d x <= M ( b - a )

Passo 1

Nós vamos utilizar nessa questão, o 5.5 . 6 Teorema (b), que diz o seguinte:

Se f e g forem integráveis em [ a , b ] e f ( x ) >= g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então

int_a^b f (x) d x >= int_a^b g (x) d x

Traduzindo esse teorema, ele diz que se uma função , chamaremos de f , integrável, é maior (menor) que outra função, chamaremos de g , também integrável.

Então a integral da primeira função ( f ) é maior (menor) do que a integral da segunda função ( g ) no mesmo intervalo [ a , b ] .

Outra coisa que vamos usar é da que se uma função é contínua, então ela é integrável!

Passo 2

Agora vamos para o cálculo mesmo!! Sempre que se deparar com questões que tenham duas inequações tente fazer a parte da direita e depois a da esquerda ou vice-versa, mas sempre faça uma parte de cada vez!

Então vamos começar com essa parte

Se

f ( x ) <= M

Então

int_a^b f (x) d x <= M ( b - a )

A função y = M é uma função constante e como toda função constante é uma função contínua, logo é uma função integrável!

Já que f (x) e y = M são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!

Ou seja, se f ( x ) <= M , então:

int_a^b f (x) d x <= int_a^b M d x

Vamos fazer essa integral aqui:

int_a^b M d x = M int_a^b d x = M (x| (b)/(a) = M ( b - a )

Voltando para a inequação, temos que:

int_a^b f (x) d x <= M ( b - a )

Passo 3

Vamos fazer a outra parte da inequação no passo 3, vai ser exatamente igual!

Se m <= f ( x )

Então

m <= f ( x )

Assim como a função y = M , a função y = m é constante, portanto é contínua e sendo contínua, ela é integrável.

Já que f (x) e y = m são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!

Ou seja, se m <= f ( x ) , então:

int_a^b m d x <= int_a^b f (x) d x

Vamos fazer essa integral aqui:

int_a^b m d x = m int_a^b d x = m (x| (b)/(a) = m ( b - a )

Voltando para a inequação, temos que:

m ( b - a ) <= int_a^b f (x) d x

Então pegando o que fizemos no passo 2 e juntando com o que fizemos no passo 3, temos:

m ( b - a ) <= int_a^b f (x) d x <= M ( b - a )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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