35. Prove que se f for contínua e se m <= f(x) <= M em [a, b] , então

m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Passo 1

Nós vamos utilizar nessa questão, o 5.5 . 6   Teorema (b), que diz o seguinte:

Se f e g forem integráveis em [ a , b ] e f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então

∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x

Traduzindo esse teorema, ele diz que se uma função   ,   chamaremos de   f ,   integrável, é maior (menor) que outra função, chamaremos de   g , também integrável.

Então a integral da primeira função   ( f ) é maior (menor) do que a integral da segunda função ( g ) no mesmo intervalo [ a , b ] .

Outra coisa que vamos usar é da que se uma função é contínua, então ela é integrável!

Passo 2

Agora vamos para o cálculo mesmo!! Sempre que se deparar com questões que tenham duas inequações tente fazer a parte da direita e depois a da esquerda ou vice-versa, mas sempre faça uma parte de cada vez!

Então vamos começar com essa parte

Se

f ( x ) ≤ M

Então

∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

A função y = M é uma função constante e como toda função constante é uma função contínua, logo é uma função integrável!

Já que f x   e y = M são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!

Ou seja, se f ( x ) ≤ M , então:

∫ a b f x d x ≤ ∫ a b M d x

Vamos fazer essa integral aqui:

∫ a b M d x = M ∫ a b d x = M x b a = M ( b - a )

Voltando para a inequação, temos que:

∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Passo 3

Vamos fazer a outra parte da inequação no passo 3, vai ser exatamente igual!

Se m ≤ f ( x )

Então

m ≤ f ( x )

Assim como a função y = M , a função y = m é constante, portanto é contínua e sendo contínua, ela é integrável.

Já que f x   e y = m são funções integráveis, podemos usar o Teorema que falamos lá no passo 1!!!

Ou seja, se m ≤ f ( x ) , então:

∫ a b m d x ≤ ∫ a b f x d x

Vamos fazer essa integral aqui:

∫ a b m d x = m ∫ a b d x = m x b a = m ( b - a )

Voltando para a inequação, temos que:

m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x

Então pegando o que fizemos no passo 2 e juntando com o que fizemos no passo 3, temos:

m ( b - a ) ≤ ∫ a b f x d x ≤ M ( b - a )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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