Enunciado

41. Seja f x = C uma função constante.

(a) Use uma fórmula de Geometria para mostrar que:

∫ a b f x d x = C ( b - a )

(b) Mostre que o valor de qualquer soma de Riemann para f ( x ) sobre [ a , b ] é C ( b - a ) . Use a definição 5.5 . 1 para mostrar que

∫ a b f x d x = C ( b - a )

Passo 1

Para a letra a) vamos desenhar o gráfico da função e para a letra b) faremos a soma de Riemann e a definição 5.5.1 que diz:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = ∫ a b f x d x

Essa definição diz que a soma de Riemann de uma função contínua é igual a integral definida dessa função!

Passo 2

Vamos começar pela letra a) e desenhando esse gráfico, sabemos que essa é uma função constante, então seu gráfico será uma reta paralela ao eixo x .

Esse gráfico é um retângulo de altura C .

A base do retângulo vai de a até b , então mede b - a .

A área de um retângulo é dada por base multiplicado pela altura, então:

A =   C ( b - a )

E como a integral é numericamente igual a área líquida, podemos afirmar que:

∫ b a f x d x = C ( b - a )

Passo 3

Vamos agora para a Soma de Rienmann para f ( x ) no mesmo intervalo, temos que:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k

Temos que para qualquer valor de x k * que escolhemos sempre teremos que f x k * = C , então a soma de Rienmann fica escrita assim:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n C ∆ x k

Só que você bem lembra que um fator constante pode ser retirado do somatório, então temos que:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = C lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k

Esse termo acima que eu destaquei é a soma de todas as partições entre [ a , b ] hein, lembrando que as partições são os subintervalos que eu “parto” o meu intervalo [ a , b ] .

E a soma de todas a partições entre a , b ,   entre a e b é dada pelo comprimento do intervalo de a , b , portanto:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k = b - a

Voltando para a nossa expressão e substituindo isso daqui de cima, vamos ter isso aqui:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = C ( b - a )

Provamos que a soma de Rienmann dá C ( b - a )

Utilizando a definição que eu falei la no passo 1:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = ∫ a b f x d x

Então:

∫ a b f x d x = C ( b - a )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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