Avalie a integral.

∫ t cos 5 ⁡ ( t ² ) d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos usar uma substituição:

t ² = v

d v 2 t   = d t

Substituindo:

∫ t  cos 5 ⁡ v d v 2 t

∫ cos 5 ⁡ v d v 2    

Passo 2

Depois, precisamos separar a função cosseno. Fica assim:

∫ cos 5 ⁡ v d v 2 = 1 2 ∫ ( cos 2 ⁡ v ) ² cos ⁡ v d v

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

cos ² ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x

Substituindo na nossa integral:

1 2 ∫ ( 1 - sin 2 ⁡ v ) ² cos ⁡ v d v

Passo 3

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = sin ⁡ v

d u = cos ⁡ v d v

d v = d u cos ⁡ v

Substituindo u e d u / d x , temos:

∫ 1 - u 2 ² cos ⁡ v   d u cos ⁡ v

∫ 1 - u 2 ² d u  

∫ 1 - 2 u 2 + u 4   d u

Passo 4

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

∫ 1 - 2 u 2 + u 4   d u

Pela regra da adição:

1 2 ∫ 1   d u - ∫ 2 u 2   d u + ∫ u 4   d u

= 1 2 u - 2 u 3 3 + u 5 5 + C

Substituindo u e depois v :

1 2 sin ⁡ t ² - 1 3 sin ⁡ t 2 + 1 1 0 si n 5 ⁡ ( t ² ) + C

Resposta

1 2 sin ⁡ t ² - 1 3 sin ⁡ t 2 + 1 10 si n 5 ⁡ ( t ² ) + C

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