Enunciado

Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 mi além da estação.

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que tem um avião voando lindamente a uma altura constante (como não falou nadica sobre a variação de altitude, vamos considerar constante) e com uma velocidade constante também (vamos fingir que ele ligou o piloto automático e manteve). Sabendo disso, ele nos pede como a distância varia de acordo com a velocidade a partir do momento que o avião passa pelo radar.

Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser definir as nossas variáveis do problema.

Com relação à velocidade, temos que:

d x d t = 500   m i / h

Bom, como sabemos que o radar está preso no chão, temos que a distância entre ele e o avião será de 1 mi. Como queremos saber a relação da distância (podemos dizer que é a variação da nossa hipotenusa, uma vez que teremos um cateto equivalendo à altitude e um outro sendo a velocidade do avião) a partir de 2 mi, vamos ter a seguinte variação para achar:

d y d t ,   p a r a   q u a n d o   y = 2 m i .

Passo 3

Já vimos que é um triângulo retângulo, então nos resta aplicar o teorema de Pitágoras e achar sua derivada direta.

y 2 = x 2 + 1

2 y .   d y d t = 2 x . d x d t

d y d t = x y . d x d t = x y   ( 500 )

Como já sabemos que y = 2, achamos:

x =   3

d y d t = 3 2   500

d y d t = 433   m i / h

Prontinho!

Resposta

d y d t = 433   m i / h

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