Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 6.2 - Ex. 67

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Um buraco de raio r é perfurado pelo meio de um cilindro de raio R > r com ângulo reto em relação ao eixo do cilindro. Encontre, mas não calcule, uma integral para o volume cortado.

Passo 1

Tome o eixo x como o eixo do furo cilíndrico do raio r. Um quarto da seção transversal perpendicular y ao eixo y, é o retângulo mostrado abaixo:

Passo 2

Aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes, nós vemos que as dimensões desse retângulo são:

x = R 2 - y 2

z = r 2 - y 2

Assim, a área é

1 4 A y = x z = R 2 - y 2 r 2 - y 2

e o volume é

V = ∫ - r r A ( y ) d y = ∫ - r r 4 R 2 - y 2 r 2 - y 2 d y = 8 ∫ 0 r R 2 - y 2 r 2 - y 2 d y

Resposta

V = 8 ∫ 0 r R 2 - y 2 r 2 - y 2 d y .

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