Enunciado

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = x e y ,     x 2 + y 2 = 2

Passo 1

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

e y ,   x e y = λ ( 2 x , 2 y )

Beleza, daqui a gente tira que:

e y = λ 2 x

x e y = λ 2 y

E precisamos que

x 2 + y 2 = 2

Vamos isolar o λ nas duas...

λ = e y 2 x = x e y 2 y

Ou seja,

e y 2 y = x e y 2 x

2 y = 2 x 2

y = x 2

Jogando em   x 2 + y 2 = 2   temos:

y + y 2 = 2

y = - 2   e   y = 1

Aí como y = x 2   e   x 2 = - 2 não existe nos reais, a gente descarta essa.

Se o y = 1 → x 2 = 1 → x = ± 1 .

Passo 2

Os pontos que nós vamos considerar então são:

- 1 , 1 ,   ( 1,1 )

Vamos ver o valor da função f nesses pontos agora...

  • f - 1 , 1 = - e
  • f 1,1 = e

Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é - e , e o valor máximo é e .

Resposta

- e ,   e

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