Enunciado

Em cada parte, encontre o limite.

(a) underset(x -> + oo)(lim) ( arccosh x - ln x )

(b) underset(x -> + oo)(lim) ( (cosh x)/(e^x) )

Passo 1

Bom galera, para resolvermos o item (a), começamos aplicando o teorema das funções hiperbólicas inversas:

underset(x -> + oo)(lim) [ln (x + sqrt(x^2 - 1)) - ln x]

Assim, aplicamos a propriedade do logaritmo natural:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((x + sqrt(x^2 - 1)))/(x)

underset(x -> + oo)(lim) ln 1 + sqrt(1 - 1 // x^2) = ln 2

Passo 2

Já para o item (b), fazemos a mesma coisa, substituindo as denifições:

underset(x -> + oo)(lim) ( (cosh x)/(e^x) ) = underset(x -> + oo)(lim) ( (e^x + e^(- x))/(2 e^x) )

Simplificando, temos:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(2) xx (1 + e^(- 2 x)) = (1)/(2)

Prontinho!!!

Resposta

(a) ln 2

(b) (1)/(2)

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