Enunciado

  1. Em cada parte, use uma integral definida para encontrar a área da região e verifique sua resposta usando uma fórmula apropriada de Geometria.

Passo 1

Vamos começar com a letra a), primeiro faremos pela integral definida.

Na letra a), estamos indo de x = 0 até x = 2 .

A = ∫ 0 2 ( 2 - x ) d x = 2 x - x 2 2 2 0 = 4 - 4 2 - 0 = 2

Agora faremos pela área, o gráfico dessa função é um triângulo retângulo.

A área de um triângulo retângulo é dada por A = c a t 1 × c a t 2 2

O primeiro cateto vai de 0 até 2 , então mede 2

O segundo cateto vai de 0 até 2 , então mede 2

A área desse triângulo é então:

A = 2 × 2 2 = 2

E como calculado tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Passo 2

Faremos a mesma coisa na letra b)

Na letra b), estamos indo de x = - 1 até x = 1 .

A = ∫ - 1 1 ( 2 ) d x = 2 x 1 - 1 = 2 - - 2 = 4

Agora faremos pela área, o gráfico dessa função é um retângulo.

A área de um retângulo é dada por A = b a s e   × a l t u r a

A base vai de - 1   até 1 , então mede 2

O altura vai de 0   até 2 ,   então mede 2

A área desse triângulo é então:

A = 2 × 2 = 4

E como podemos perceber tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Passo 3

Igualmente para a letra c)

Na letra b), estamos indo de x = 1 até x = 3 .

A = ∫ 1 3 ( x + 1 ) d x = x 2 2 + x 3 1 = 9 2 + 3 - 1 2 + 1 = 15 2 - 3 2 = 12 2 = 6

Agora faremos pela área, o gráfico dessa função é um trapézio.

A área de um trapézio é dada por A = ( b a s e   m a i o r + b a s e   m e n o r ) × a l t u r a 2

A base maior vai de 0   até f 3 = 3 + 1 = 4 , então mede 4

A base menor vai de 0   até f 1 = 1 + 1 = 2 , então mede 2

O altura vai de 1   até 3 ,   então mede 2 .

A área desse triângulo é então:

A = 4 + 2 × 2 2 = 6

E como podemos perceber tanto o cálculo da integral por antiderivada quanto pela área têm valores iguais.

Resposta

a) 2

b) 4

c) 6

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