Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 7.2 - Ex. 37

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Calcula a integral

∫ π 4 π 2 cot 5 ⁡ ϕ   c o s s e c 3 ϕ   d ϕ  

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral para vê se da uma melhorada nas ideias,

∫ π 4 π 2 cot 5 ⁡ ϕ   c o s s e c 3 ϕ   d ϕ =   ∫ π 4 π 2 cot 4 ⁡ ϕ   c o s s e c 2 ϕ       c o s s s e c   ϕ   c o t g   ϕ     d ϕ  

Usando a identidade   c o t g   ϕ = c o s s e c 2 ϕ - 1  

∫ π 4 π 2 c o s s e c 2 ϕ - 1   2   c o s s e c 2 ϕ     c o s s e c ϕ   cot ⁡ ϕ d ϕ

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis,

u = c o s s e c   ϕ ,   d u =   - c o s s e c   ϕ cot ⁡ ϕ   d ϕ

Daí,

∫ π 4 π 2 c o s s e c 2 ϕ - 1   2   c o s s e c 2 ϕ     c o s s e c ϕ   cot ⁡ ϕ d ϕ =   ∫ 2 1 u 2 - 1 2 u 2 - d u  

Pela tabela,

= ∫ 1 2 u 6 - 2 u 4 + u 2 d u   = 1 u u 7 - 2 5 u 5 + 1 3 u 3 1 2 = 8 7 2 - 8 5 2 + 2 3 2 - 1 7 - 2 5 + 1 3 =   22 105 2 - 8 105

Resposta

∫ π 4 π 2 cot 5 ⁡ ϕ   c o s s e c 3 ϕ   d ϕ =   22 105 2 - 8 105  

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