Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = tg theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x = int (5 tg theta + 4)/(tg^3 theta sqrt(tg^2 theta + 1)) sec^2 theta d theta = int ((5 tg theta + 4) sec^2 theta)/(tg^3 theta sqrt(tg^2 theta + 1)) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int ((5 tg theta + 4) sec^2 theta)/(tg^3 theta sqrt(tg^2 theta + 1)) d theta = int ((5 tg theta + 4) sec^2 theta)/(tg^3 theta sqrt(sec^2 theta)) d theta = int ((5 tg theta + 4) sec^2 theta)/(tg^3 theta sec theta) d theta =

= int ((5 tg theta + 4) sec theta)/(tg^3 theta) d theta = int (5 tg theta sec theta)/(tg^3 theta) d theta + int (4 sec theta)/(tg^3 theta) d theta = int (5 sec theta)/(tg^2 theta) d theta + int (4 sec theta)/(tg^3 theta) d theta

Vamos deixar tudo em termos de sen theta e cos theta :

int (5 sec theta)/(tg^2 theta) d theta + int (4 sec theta)/(tg^3 theta) d theta = int (5 (1)/(cos theta))/((sen^2 theta)/(cos^2 theta)) d theta + int (4 (1)/(cos theta))/((sen^3 theta)/(cos^3 theta)) d theta =

= int (5)/(cos theta) * (cos^2 theta)/(sen^2 theta) d theta + int (4)/(cos theta) * (cos^3 theta)/(sen^3 theta) d theta = int (5 cos theta)/(sen^2 theta) d theta + int (4 cos^2 theta)/(sen^3 theta) d theta

Passo 2

Para calcular essas integrais vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

u = sen theta

d u = cos theta d theta

Aplicando vamos ter:

int (5 cos theta)/(sen^2 theta) d theta = int (5)/(u^2) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int (5)/(u^2) d u = 5 int u^(- 2) d u = 5 (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = 5 (u^(- 1))/(- 1) + C = - (5)/(u) + C

Passo 3

Na segunda vamos transformar em integrais de cossecantes:

int (4 cos^2 theta)/(sen^3 theta) d theta = 4 int (1 - sen^2 theta)/(sen^3 theta) d theta = 4 int (1)/(sen^3 theta) - (sen^2 theta)/(sen^3 theta) d theta =

= 4 int (1)/(sen^3 theta) d theta - 4 int (sen^2 theta)/(sen^3 theta) d theta = 4 int cosec^3 theta d theta - 4 int (1)/(sen theta) d theta =

= 4 int cosec^3 theta d theta - 4 int cosec theta d theta

Com a primeira integral vamos usar a fórmula de Recorrência:

int cosec^3 theta d theta = (- 1)/(3 - 1) cosec^(3 - 2) theta cotg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int cosec^(3 - 2) theta d theta

int cosec^3 theta d theta = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) int cosec theta d theta

E a integral de int cosec theta d theta achamos usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cosec x d x = ln |cosec x - cotg x| + C

Agora é só aplicar:

int cosec^3 theta d theta = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) int cosec theta d theta

int cosec^3 theta d theta = - (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) ln |cosec theta - cotg theta|

E aplicar também na segunda integral lá de cima e vamos juntar tudo:

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x = int (5 cos theta)/(sen^2 theta) d theta + int (4 cos^2 theta)/(sen^3 theta) d theta =

= int (5)/(u^2) d u + 4 int cosec^3 theta d theta - 4 int cosec theta d theta =

= - (5)/(u) + 4 (- (1)/(2) cosec theta cotg theta + (1)/(2) ln |cosec theta - cotg theta|) - 4 ln |cosec theta - cotg theta| + C =

= - (5)/(u) - 2 cosec theta cotg theta + 2 ln |cosec theta - cotg theta| - 4 ln |cosec theta - cotg theta| + C =

= - (5)/(u) - 2 cosec theta cotg theta - 2 ln |cosec theta - cotg theta| + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x = - (5)/(u) - 2 cosec theta cotg theta - 2 ln |cosec theta - cotg theta| + C =

= - (5)/(sen theta) - 2 cosec theta cotg theta - 2 ln |cosec theta - cotg theta| + C

Temos que x = tg theta , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim os valores de sen theta , cosec theta e cotg theta são:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

cosec theta = (1)/(sen theta) = (1)/((x)/(sqrt(x^2 + 1))) = (sqrt(x^2 + 1))/(x)

cotg theta = (1)/(tg theta) = (1)/(x)

Pronto, ficamos então com:

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x = - (5)/(sen theta) - 2 cosec theta cotg theta - 2 ln |cosec theta - cotg theta| + C =

= - (5)/((x)/(sqrt(x^2 + 1))) - 2 * (sqrt(x^2 + 1))/(x) * (1)/(x) - 2 ln |(sqrt(x^2 + 1))/(x) - (1)/(x)| + C =

= - (5 sqrt(x^2 + 1))/(x) - (2 sqrt(x^2 + 1))/(x^2) - 2 ln |(sqrt(x^2 + 1) - 1)/(x)| + C

Resposta

int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x = - (5 sqrt(x^2 + 1))/(x) - (2 sqrt(x^2 + 1))/(x^2) - 2 ln |(sqrt(x^2 + 1) - 1)/(x)| + C

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