Calcule a integral.

∫ sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: temos seno e cosseno na expressão, vamos usar então a identidade para transformar tudo em seno:

sen ⁡ A cos ⁡ B = 1 2 sen ⁡ A - B + sen ⁡ A + B

Vamos substituir:

∫ sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = ∫ 1 2 sen ⁡ 4 x - 3 x + sen ⁡ 4 x + 3 x d x = ∫ 1 2 sen ⁡ x + sen ⁡ 7 x d x = ∫ sen ⁡ x 2 d x + ∫ sen ⁡ 7 x 2 d x

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ sen ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ sen ⁡ x d x = 1 2 cos ⁡ x + C = - cos ⁡ x 2 + C

Passo 3

A segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer com que u seja a expressão dentro do seno, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 7 x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   7   d x → d x = d u 7

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ sen ⁡ 7 x 2 d x = ∫ sen ⁡ u 7 . 2 d u = ∫ sen ⁡ u 14 d u

Agora usamos o mesmo que usamos para calcular a integral anterior, pois temos a mesma forma:

∫ sen ⁡ u 14 d u = 1 14 ∫ sen ⁡ u d u = 1 14 - cos ⁡ u + C = - cos ⁡ u 14 + C

Passo 4

Vamos agora juntar:

∫ sen ⁡ x 2 d x + ∫ sen ⁡ 7 x 2 d x = - cos ⁡ x 2 - cos ⁡ u 14 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 7 x :

∫ sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = ∫ sen ⁡ x 2 d x + ∫ sen ⁡ 7 x 2 d x = - cos ⁡ x 2 - cos ⁡ u 14 + C = - cos ⁡ x 2 - cos ⁡ 7 x 14 + C

Resposta

∫ sen ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x = - cos ⁡ x 2 - cos ⁡ 7 x 14 + C

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