Usando coordenadas polares, calcular:

g)   ∫ 0 2 ∫ 0 y x d x d y

Passo 1

Temos que:

0 ≤ x ≤ y

0 ≤ y ≤ 2

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y ≤ 2

y 2 ≤ 4

y 2 + x 2 ≤ 4 + x 2

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 4 + r 2 cos 2 ⁡ θ

r 2 - r 2 cos 2 ⁡ θ ≤ 4

r 2 1 - cos 2 ⁡ θ ≤ 4

r 2 s e n 2 θ ≤ 4

r 2 ≤ 4 s e n 2 θ

r ≤ 2 s e n   θ

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 2 s e n   θ

π 4 ≤   θ ≤ π 2

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ π 4 π 2 ∫ 0 2 s e n   θ r cos ⁡ θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 s e n   θ r 2 ⋅ cos ⁡ θ d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

8 s e n 3   θ   - 0 1 3 cos ⁡ θ = 8 cos ⁡ θ 3   s e n 3 θ    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ π 4 π 2 8 cos ⁡ θ 3   s e n 3 θ   d θ = - 4 3 csc 2 ⁡ θ

Aplicando os limites:

- 4 3 1 - 2 = 4 3

Resposta

4 3

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