Calcular ∬ R x - 1 2 + y - 2 2 d x d y , onde R é delimitada por (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

( x - 1 ) = u e ( y - 2 ) = v

O jacobiano dessa transformação será igual a 1:

J = 1 0 0 1 = 1

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

x - 1 2 + y - 2 2 = 1 → u 2 + v 2 = 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ u 2 + v 2 ⋅ 1 d u d v = ∬ u 2 + v 2 d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos ⁡ θ ; v = r   s e n   θ ; u 2 + v 2 = r 2

Substituindo novamente. Obtemos:

∬ r ⋅ r   d r d θ

Com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 1 r 2 d r = r 3 3

Aplicando os limites:

1 - 0 1 3 = 1 3  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 1 3 d θ = 1 3 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 1 3 = 2 π 3  

Resposta

2 π 3

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