Calcule a integral indefinida:

∫ x + 1 4 - x 2   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ x 2

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x + 1 4 - x 2   d x = ∫ 2 sen ⁡ θ + 1 4 - 4 sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen ⁡ θ + 1 4 1 - sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 2 sen ⁡ θ + 1 4 1 - sen 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen ⁡ θ + 1 4 cos 2 ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 sen ⁡ θ + 1 2 cos ⁡ θ   2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 2 sen ⁡ θ + 1 d θ = 2 ∫ sen ⁡ θ d θ + ∫ 1 d θ

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

2 ∫ sen ⁡ θ d θ + ∫ 1 d θ = 2 - cos ⁡ θ + k θ + C = - 2 cos ⁡ θ + θ + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ :

Assim:

cos ⁡ θ = 4 - x 2 2

Substituindo ficamos com:

∫ x + 1 4 - x 2   d x = - 2 cos ⁡ θ + θ + C = - 2 4 - x 2 2 + arcsen ⁡ x 2 + C =

= - 4 - x 2 + arcsen ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ x + 1 4 - x 2   d x = - 4 - x 2 + arcsen ⁡ x 2 + C

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