Calcular a integral definida:

∫ 0 1 d x 3 x 2 + 2

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x 3 x 2 + 2

Primeiro vamos fazer uma substituição para a integral ficar no formato para aplicar uma substituição trigonométrica:

u = 3 x

d u = 3 d x

Substituindo temos:

∫ d x 3 x 2 + 2 = ∫ d u 3 3 u 2 3 + 2 = 1 3 ∫ d u u 2 + 2

Passo 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer u = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

u = 2 tg ⁡ θ

d u = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

1 3 ∫ d u u 2 + 2 = 1 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tg 2 ⁡ θ + 2 d θ = 1 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tg 2 ⁡ θ + 1 d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

1 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tg 2 ⁡ θ + 1 d θ = 1 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = 1 3 ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 sec ⁡ θ d θ = 1 3 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Aplicando:

1 3 ∫ sec ⁡ θ d θ = 1 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ d x 3 x 2 + 2 = 1 3 ∫ d u u 2 + 2 = 1 3 ∫ sec ⁡ θ d θ = 1 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Temos que u = 2 tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = u 2 assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim o valor de sec ⁡ θ é:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 2 u 2 + 2 = u 2 + 2 2

Pronto, ficamos então com:

∫ d x 3 x 2 + 2 = 1 3 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C = 1 3 ln ⁡ u 2 + 2 2 + u 2 + C =

= 1 3 ln ⁡ 3 x 2 + 2 2 + 3 x 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 1 d x 3 x 2 + 2 = 1 3 ln ⁡ 3 x 2 + 2 2 + 3 x 2 0 1 =

= 1 3 ln ⁡ 3 ⋅ 1 2 + 2 2 + 3 ⋅ 1 2 - 1 3 ln ⁡ 3 ⋅ 0 2 + 2 2 + 3 ⋅ 0 2 =

= 1 3 ln ⁡ 3 + 2 2 + 3 2 - 1 3 ln ⁡ 2 2 = 1 3 ln ⁡ 5 + 3 2 + - 1 3 ln ⁡ 1 =

= 1 3 ln ⁡ 5 + 3 2 - 1 3 ⋅ 0 = 1 3 ln ⁡ 5 + 3 2

Resposta

∫ 0 1 d x 3 x 2 + 2 = 1 3 ln ⁡ 5 + 3 2

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