Calcule

∫ 1 2 1 + 3 x 2 x d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

∫ 1 2 1 + 3 x 2 x d x = ∫ 1 2 1 x d x + ∫ 1 2 3 x 2 x d x = ∫ 1 2 1 x d x + ∫ 1 2 3 x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ 3 x d x = 3 ∫ x 1 d x , n = 1

3 ∫ x 1 d x = 3 x n + 1 n + 1 = 3 x 1 + 1 1 + 1 = 3 x 2 2 = 3 2 x 2

Também temos a integração para o caso particular:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Assim:

∫ 1 2 1 + 3 x 2 x d x = 3 2 x 2 + ln ⁡ x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: 3 2 x 2 + ln ⁡ x 2 1 =

= 3 2 2 2 + ln ⁡ 2 - 3 2 1 2 + ln ⁡ 1 =

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

= 3 2 × 4 + ln ⁡ 2 - 3 2 = 6 + ln ⁡ 2 - 3 2 = 12 - 3 2 + ln ⁡ 2 = 9 2 + ln ⁡ 2

Resposta

∫ 1 2 1 + 3 x 2 x d x = 9 2 + ln ⁡ 2

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