10. Calcule

c ) ∫ x 16 - x 4 d x

Passo 1

Primeiro, vamos utilizar a propriedade de potência a m n = a m . n

∫ x 16 - x 4 d x = ∫ x 16 - ( x 2 ) 2   d x

Passo 2

Agora, vemos que, se derivarmos o termo dentro dos parênteses, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Então, fazendo

u = x 2 ⇒ d u = 2 x   d x ⇒ x   d x = d u 2  

Substituindo na integral

∫ x 16 - ( x 2 ) 2   d x =   ∫ 1 4 2 - u 2 d u 2 = 1 2 ∫ 1 4 2 - u 2 d u  

Passo 3

Sabemos que essa integral é do tipo ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a tan - 1 ⁡ x a + k . Logo,

1 2 ∫ 1 4 2 - u 2 d u = 1 2 1 4 tan - 1 ⁡ u 4 + k = 1 8 tan - 1 ⁡ x 2 4 + k

Resposta

Portanto,

∫ x 16 - x 4 d x =   1 8 tan - 1 ⁡ x 2 4 + k

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