Calcule.

∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Vamos manipular um pouco o denominador, para poder aplicar frações parciais:

4 x 3 - x 2 - 2 x = 4 x x 2 - x - 2

Agora vamos achar as raízes de x 2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 ∙ 1 = + 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2

x = 1 + 3 2 = 4 2 = 2

x = 1 - 3 2 = - 2 2 = - 1

Assim ficamos com:

x 3 - x 2 - 2 x = x x 2 - x - 2 = x x - 2 x + 1

Substituindo na integral:

∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x = ∫ 4 x x - 2 x + 1 d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

4 x x - 2 x + 1 = A x + B x - 2 + C x + 1

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x - 2 x + 1 :

4 = A x - 2 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 2

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

4 = A x - 2 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 2

4 = A x 2 + x - 2 x - 2 + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

4 = A x 2 - x - 2 + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

4 = A x 2 - A x - 2 A + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

4 = x 2 A + B + C + x - A + B - 2 C + - 2 A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 - A + B - 2 C = 0 - 2 A = 4 → A = - 2

Passo 3

Substituindo o valor de A na primeira e na segunda:

A + B + C = 0 → - 2 + B + C = 0 → B + C = 2 - A + B - 2 C = 0 → - - 2 + B - 2 C = 0 → 2 + B - 2 C = 0 → B - 2 C = - 2 A = - 2

Vamos isolar B na primeira:

B + C = 2 → B = 2 - C

Substituindo o valor de A e B na segunda temos:

- A + B - 2 C = 0 → - - 2 + 2 - C - 2 C = 0 → 2 + 2 - 3 C = 0 → C = 4 3

Agora vamos achar o valor de B :

B = 2 - C = 2 - 4 3 = 6 - 4 3 = 2 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 4 x x - 2 x + 1 d x = ∫ - 2 x + 2 3 x - 2 + 4 3 x + 1 d x = ∫ - 2 x + 2 3 x - 2 + 4 3 x + 1 d x = ∫ - 2 x d x + ∫ 2 3 x - 2 d x + ∫ 4 3 x + 1 d x

Passo 4

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 2 x d x = - 2 ∫ 1 x d x = - 2 ln ⁡ x + C

Passo 5

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 3 x - 2 d x = 2 3 ∫ 1 x - 2 d x = 2 3 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

2 3 ∫ 1 v d v = 2 3 ln ⁡ v + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 4 3 x + 1 d x = 4 3 ∫ 1 x + 1 d x = 4 3 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

4 3 ∫ 1 t d t = 4 3 ln ⁡ t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x = ∫ - 2 x d x + ∫ 2 3 x - 2 d x + ∫ 4 3 x + 1 d x = - 2 ln ⁡ x + 2 3 ln ⁡ v + 4 3 ln ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x = - 2 ln ⁡ x + 2 3 ln ⁡ v + 4 3 ln ⁡ t + C = - 2 ln ⁡ x + 2 3 ln ⁡ x - 2 + 4 3 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ 4 x 3 - x 2 - 2 x d x = - 2 ln ⁡ x + 2 3 ln ⁡ x - 2 + 4 3 ln ⁡ x + 1 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados