Enunciado

Calcule.

int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Vamos manipular um pouco o denominador, para poder aplicar frações parciais:

(4)/(x^3 - x^2 - 2 x) = (4)/(x (x^2 - x - 2))

Agora vamos achar as raízes de x^2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- (- 1) +- sqrt((- 1)^2 - 4 * 1 * (- 2)))/(2 * 1) = (+ 1 +- sqrt(9))/(2) = (1 +- 3)/(2)

x = (1 + 3)/(2) = (4)/(2) = 2

x = (1 - 3)/(2) = - (2)/(2) = - 1

Assim ficamos com:

x^3 - x^2 - 2 x = x (x^2 - x - 2) = x (x - 2) (x + 1)

Substituindo na integral:

int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = int (4)/(x (x - 2) (x + 1)) d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(4)/(x (x - 2) (x + 1)) = (A)/(x) + (B)/(x - 2) + (C)/(x + 1)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x - 2) (x + 1) :

4 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

4 = A (x - 2) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 2)

4 = A (x^2 + x - 2 x - 2) + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

4 = A (x^2 - x - 2) + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

4 = A x^2 - A x - 2 A + B x^2 + B x + C x^2 - 2 C x

4 = x^2 (A + B + C) + x (- A + B - 2 C) + (- 2 A)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 0],[- A + B - 2 C = 0],[- 2 A = 4 -> A = - 2]])

Passo 3

Substituindo o valor de A na primeira e na segunda:

{[[A + B + C = 0 -> - 2 + B + C = 0 -> B + C = 2],[- A + B - 2 C = 0 -> - (- 2) + B - 2 C = 0 -> 2 + B - 2 C = 0 -> B - 2 C = - 2],[A = - 2]])

Vamos isolar B na primeira:

B + C = 2 -> B = 2 - C

Substituindo o valor de A e B na segunda temos:

- A + B - 2 C = 0 -> - (- 2) + 2 - C - 2 C = 0 -> 2 + 2 - 3 C = 0 -> C = (4)/(3)

Agora vamos achar o valor de B :

B = 2 - C = 2 - (4)/(3) = (6 - 4)/(3) = (2)/(3)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (4)/(x (x - 2) (x + 1)) d x = int (- 2)/(x) + ((2)/(3))/(x - 2) + ((4)/(3))/(x + 1) d x = int (- 2)/(x) + (2)/(3 (x - 2)) + (4)/(3 (x + 1)) d x = int (- 2)/(x) d x + int (2)/(3 (x - 2)) d x + int (4)/(3 (x + 1)) d x

Passo 4

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (- 2)/(x) d x = - 2 int (1)/(x) d x = - 2 ln |x| + C

Passo 5

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (2)/(3 (x - 2)) d x = (2)/(3) int (1)/((x - 2)) d x = (2)/(3) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(2)/(3) int (1)/(v) d v = (2)/(3) ln |v| + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x + 1

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (4)/(3 (x + 1)) d x = (4)/(3) int (1)/(x + 1) d x = (4)/(3) int (1)/(t) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(4)/(3) int (1)/(t) d t = (4)/(3) ln |t| + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = int (- 2)/(x) d x + int (2)/(3 (x - 2)) d x + int (4)/(3 (x + 1)) d x = - 2 ln |x| + (2)/(3) ln |v| + (4)/(3) ln |t| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = - 2 ln |x| + (2)/(3) ln |v| + (4)/(3) ln |t| + C = - 2 ln |x| + (2)/(3) ln |x - 2| + (4)/(3) ln |x + 1| + C

Resposta

int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x = - 2 ln |x| + (2)/(3) ln |x - 2| + (4)/(3) ln |x + 1| + C

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