6. Calcule

b ) ∫ cos 2 ⁡ 5 x   d x

Passo 1

Oi, pessoal! O que nos dificulta para resolver essa integral é esse cosseno ao quadrado, então a ideia é sumir com ele e ter uma integral mais simples de se resolver.

Para isso, usaremos a identidade trigonométrica c o s 2 a = 1 + cos ⁡ 2 a 2

No caso desse exercício, temos a = 5 x . Aplicando:

∫ cos 2 ⁡ 5 x   d x

∫ 1 + cos ⁡ 2 * 5 x 2 d x

∫ 1 + cos ⁡ 10 x 2 d x

Simplificando, podemos escrever:

∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 10 x ) d x

E aí podemos tirar a constante 1 2 pra fora :P

1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 10 x ) d x

Agora partiu resolver a integral!

Passo 2

Beleza, então temos essa integralzinha pra resolver:

1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 10 x ) d x

Como temos uma soma dentro da integral, podemos separar em duas integrais distintas né? Assim:

1 2 ∫ 1   d x + ∫ cos ⁡ 10 x d x

Sabemos que a integral de uma constante k é k . x , então ∫ 1   d x = 1 . x

Mas para resolver a segunda parte vamos ter que aplicar o método da substituição simples. Vamos lá!

Passo 3

Vamos resolver a parte,

∫ cos ⁡ 10 x d x

Vamos fazer a seguinte substituição,

u = 10 x

d u = 10 d x → d u 10 = d x

Fazendo a substituição na integral,

∫ cos ⁡ u 1 10 d u = sin ⁡ u 10

Voltando para variável x , temos

∫ cos ⁡ 10 x d x = sin ⁡ 10 x 10

Juntando tudo, temos

∫ cos 2 ⁡ 5 x   d x = 1 2 x + s e n 10 x 10 + C

= x 2 + s e n 10 x 20 + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Resposta

∫ cos 2 ⁡ 5 x   d x =   x 2 + s e n 10 x 20 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados