Enunciado

Calcule.

int (x^5 + 3)/(x^3 - 4 x) d x

Passo 1

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x^5 + 3 por x^3 - 4 x vamos ter um quociente x^2 + 4 e resto 16 x + 3 , assim:

(x^5 + 3)/(x^3 - 4 x) = ((x^3 - 4 x) (x^2 + 4))/(x^3 - 4 x) + (16 x + 3)/(x^3 - 4 x) = x^2 + 4 + (16 x + 3)/(x^3 - 4 x)

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

int (x^5 + 3)/(x^3 - 4 x) d x = int x^2 + 4 + (16 x + 3)/(x^3 - 4 x) d x = int x^2 d x + int 4 d x + int (16 x + 3)/(x^3 - 4 x) d x

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int x^2 d x = (x^(2 + 1))/(2 + 1) + C = (x^3)/(3) + C

Passo 3

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Aplicando:

int 4 d x = 4 x + C

Passo 4

Para calcular a terceira integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos manipular um pouco:

(16 x + 3)/(x^3 - 4 x) = (16 x + 3)/(x (x^2 - 4)) = (16 x + 3)/(x (x + 2) (x - 2))

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(16 x + 3)/(x (x + 2) (x - 2)) = (A)/(x) + (B)/(x + 2) + (C)/(x - 2)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x + 2) (x - 2) :

(16 x + 3)/(x (x + 2) (x - 2)) = (A x (x + 2) (x - 2))/(x) + (B x (x + 2) (x - 2))/(x + 2) + (C x (x + 2) (x - 2))/(x - 2) ->

->

-> 16 x + 3 = A (x + 2) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x + 2)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

16 x + 3 = A (x + 2) (x - 2) + B x (x - 2) + C x (x + 2)

16 x + 3 = A (x^2 - 2 x + 2 x - 4) + B x^2 - 2 B x + C x^2 + 2 C x

16 x + 3 = A x^2 - 4 A + B x^2 - 2 B x + C x^2 + 2 C x

16 x + 3 = x^2 (A + B + C) + x (- 2 B + 2 C) + (- 4 A)

Passo 5

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 0],[- 2 B + 2 C = 16],[- 4 A = 3 -> A = - (3)/(4)]]) -> {[[- (3)/(4) + B + C = 0 -> B + C = (3)/(4)],[- 2 B + 2 C = 16],[A = - (3)/(4)]])

Vamos multiplicar a primeira expressão por 2 e somar com a segunda:

4 C = (3)/(2) + 16 -> 4 C = (3 5)/(2) -> C = (35)/(8)

Assim também achamos B pela primeira expressão:

B + C = (3)/(4) -> B = (3)/(4) - C = (3)/(4) - (35)/(8) = (6 - 3 5)/(8) = - (29)/(8)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (16 x + 3)/(x (x + 2) (x - 2)) d x = int (- (3)/(4))/(x) + (- (29)/(8))/(x + 2) + ((35)/(8))/(x - 2) d x =

= int (- 3)/(4 x) - (29)/(8 (x + 2)) + (35)/(8 (x - 2)) d x = int (- 3)/(4 x) d x + int - (29)/(8 (x + 2)) d x + int (35)/(8 (x - 2)) d x = - (3)/(4) ln |x| - (29)/(8) ln |x + 2| + (35)/(8) ln |x - 2| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (x^5 + 3)/(x^3 - 4 x) d x = int x^2 d x + int 4 d x + int (16 x + 3)/(x^3 - 4 x) d x = (x^3)/(3) + 4 x - (3)/(4) ln |x| - (29)/(8) ln |x + 2| + (35)/(8) ln |x - 2| + C

Resposta

int (x^5 + 3)/(x^3 - 4 x) d x = (x^3)/(3) + 4 x - (3)/(4) ln |x| - (29)/(8) ln |x + 2| + (35)/(8) ln |x - 2| + C

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