Calcule.

∫ x 5 + 3 x 3 - 4 x d x

Passo 1

Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:

Dividindo x 5 + 3 por x 3 - 4 x vamos ter um quociente x 2 + 4 e resto 16 x + 3 , assim:

  x 5 + 3 x 3 - 4 x = x 3 - 4 x x 2 + 4 x 3 - 4 x + 16 x + 3 x 3 - 4 x = x 2 + 4 + 16 x + 3 x 3 - 4 x

Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:

∫   x 5 + 3 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 + 4 + 16 x + 3 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 4 d x + ∫ 16 x + 3 x 3 - 4 x d x

Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.

Passo 2

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ x 2 d x = x 2 + 1 2 + 1 + C = x 3 3 + C

Passo 3

Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ 4 d x = 4 x + C

Passo 4

Para calcular a terceira integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.

Vamos manipular um pouco:

16 x + 3 x 3 - 4 x = 16 x + 3 x x 2 - 4 = 16 x + 3 x x + 2 x - 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

16 x + 3 x x + 2 x - 2 = A x + B x + 2 + C x - 2

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x + 2 x - 2 :

16 x + 3 x x + 2 x - 2 = A x x + 2 x - 2 x + B x x + 2 x - 2 x + 2 + C x x + 2 x - 2 x - 2 →

→ 16 x + 3 = A x + 2 x - 2 + B x x - 2 + C x x + 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

16 x + 3 = A x + 2 x - 2 + B x x - 2 + C x x + 2

16 x + 3 = A x 2 - 2 x + 2 x - 4 + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x

16 x + 3 = A x 2 - 4 A + B x 2 - 2 B x + C x 2 + 2 C x

16 x + 3 = x 2 A + B + C + x - 2 B + 2 C + - 4 A

Passo 5

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 0 - 2 B + 2 C = 16 - 4 A = 3 → A = - 3 4 → - 3 4 + B + C = 0 → B + C = 3 4 - 2 B + 2 C = 16 A = - 3 4

Vamos multiplicar a primeira expressão por 2 e somar com a segunda:

4 C = 3 2 + 16 → 4 C = 3 5 2 → C = 35 8

Assim também achamos B pela primeira expressão:

B + C = 3 4 → B = 3 4 - C = 3 4 - 35 8 = 6 - 3 5 8 = - 29 8

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 16 x + 3 x x + 2 x - 2 d x = ∫ - 3 4 x + - 29 8 x + 2 + 35 8 x - 2 d x =

= ∫ - 3 4 x - 29 8 x + 2 + 35 8 x - 2 d x = ∫ - 3 4 x d x + ∫ - 29 8 x + 2 d x + ∫ 35 8 x - 2 d x = - 3 4 ln ⁡ x - 29 8 ln ⁡ x + 2 + 35 8 ln ⁡ x - 2 + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ x 5 + 3 x 3 - 4 x d x = ∫ x 2 d x + ∫ 4 d x + ∫ 16 x + 3 x 3 - 4 x d x = x 3 3 + 4 x - 3 4 ln ⁡ x - 29 8 ln ⁡ x + 2 + 35 8 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ x 5 + 3 x 3 - 4 x d x = x 3 3 + 4 x - 3 4 ln ⁡ x - 29 8 ln ⁡ x + 2 + 35 8 ln ⁡ x - 2 + C

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