Enunciado

Resolva a equação diferencial abaixo:

(d u)/(d v) = (v)/(u^2)

Passo 1

Okay rapaziada, a gente percebe que essa função, temos que separar as variáveis e a partir dai isolar o nossas variaveis. Primeiro a gente observa que:

(d u)/(d v) = (v)/(u^2)

Isolando cada variável para o lado do seu diferenciavel:

u^2 d u = v d v

Passo 2

Portanto, agora basta integrarmos os dois lados!! Vamos primeiro para o lado esquerdo!!

v d v -> int v d v = (v^2)/(2) + k

Passo 3

Para o nosso lado direito, temos que:

u^2 d u -> int u^2 d u = (u^3)/(3) + k

Agora, basta voltarmos para nossa configuração inicial:

u^2 d u = v d v

int u^2 d u = int v d v

(v^2)/(2) + k = (u^3)/(3) + k

Passo 4

Isolando para v :

(v^2)/(2) + k = (u^3)/(3) + k

v^2 = (2 u^3)/(3) + k

v = sqrt((2 u^3)/(3) + k )

Isolando para u:

(v^2)/(2) + k = (u^3)/(3) + k

u^3 = (3 v^2)/(2) + k

u = root(3)((3 v^2)/(2))

Resposta

v = sqrt((2 u^3)/(3) + k ) ou u = root(3)((3 v^2)/(2))

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