Calcule.

∫ 1 2 2 3 x - 2 3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 - 0   d x → d u = 3 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 1 → u = 3 ⋅ 1 - 2 = 1

x = 2 → u = 3 ⋅ 2 - 2 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 2 2 3 x - 2 3 d x = ∫ 1 4 2 3 u 3 d u = ∫ 1 4 2 u - 3 3 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 2 u - 3 3 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 2 u - 3 3 d u = 2 3 ∫ u - 3 d u = 2 3 ⋅ u - 3 + 1 - 3 + 1 = 2 3 ⋅ u - 2 - 2 = u - 2 - 3 = - 1 3 u 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 1 4 2 u - 3 3 d u = - 1 3 u 2 1 4 = - 1 3 ⋅ 4 2 - - 1 3 ⋅ 1 2 = - 1 48 + 1 3 = - 1 + 16 48 = 15 48 = 5 16

Resposta

∫ 1 2 2 3 x - 2 3 d x = 5 16

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