Calcule.

∫ 0 1 x x 2 + 3 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x 2 + 3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 0   d x → d u = 2 x d x → d u 2 = x d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 0 2 + 3 = 3

x = 1 → u = 1 2 + 3 = 4

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 1 x x 2 + 3 d x = ∫ 3 4 u 2 d u = ∫ 3 4 u 1 2 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ u 1 2 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 1 2 2 d u = 1 2 ∫ u 1 2 d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 2 u 3 2 3 2 = 1 2 ⋅ 2 u 3 2 3 = u 3 2 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 3 4 u 1 2 2 d u = u 3 2 3 3 4 = 4 3 2 3 - 3 3 2 3 = 8 3 - 27 3 = 8 - 27 3

Resposta

∫ 0 1 x x 2 + 3 d x = 8 - 27 3

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