17. Calcular ∬ R x   d x   d y , sendo R a região delimitada por y = -x , y = 4x e y = 3/2x + 5/2

Passo 1

Temos que a representação gráfica é a seguinte:

Analisando o gráfico, temos uma figura que não pode ser representada em apenas uma integral dupla, logo precisamos dividir em duas:

∫ 0 1 ∫ - y y 4 x   d x   d y + ∫ 1 4 ∫ 2 3 y - 5 2 y 4 x   d x   d y

Vamos integrar em relação a x primeiro,

∫ - y y 4 x   d x =

x 2 2 - y y 4 = y 2 16 2 - y 2 2 =

= y 2 32 - y 2 2

Passo 2

∫ 0 1 y 2 32 - y 2 2   d y =

∫ 0 1 - 15 y 2 32   d y =

- 15 y 3 96 0 1 =

- 15 96 = - 5 32

Passo 3

Agora iremos resolver o segundo termo:

∫ 1 4 ∫ 2 3 y - 5 2 y 4 x   d x   d y

Vamos integrar em relação a x primeiro,

∫ 2 3 y - 5 2 y 4 x   d x =

x 2 2 2 3 y - 5 2 y 4 = y 2 32 - - 5 + 2 y 2 18

Passo 4

∫ 1 4 y 2 32 - - 5 + 2 y 2 18   d y =

∫ 1 4 y 2 32   d y - ∫ 1 4 - 5 + 2 y 2 18   d y =

Vamos resolver o primeiro termo e depois o segundo,

y 3 96 1 4 = 21 32

Agora o segundo termo,

- 1 18 ∫ 1 4 - 5 + 2 y 2   d y =

- 1 18 ∫ 1 4 25 - 20 y + 4 y 2   d y =

- 1 18 25 y - 10 y 2 + 4 y 3 3 1 4 = - 1 18   100 - 160 + 256 3 - 25 + 10 - 4 3

= - 1 18   - 75 + 252 3

= - 1 18   9

= - 1 2

Juntando os dois termos, temos que:

∫ 1 4 y 2 32   d y - ∫ 1 4 - 5 + 2 y 2 18   d y =

21 32 - 1 2 = 5 32

Passo 5

Ao juntar as integrais iniciais, temos:

- 5 32 + 5 32 = 0

Resposta

0

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