15. Calcular ∬ R ( x + 1 )   d x   d y , sendo R a região delimitada por |x| + |y| = 1 .

Passo 1

Temos que a representação gráfica é a seguinte:

Seguindo a ordem de integração levando em consideração o gráfico, precisamos escrever duas integrais para obter a área desejada. Dessa forma, temos:

∫ 0 1 ∫ y - 1 1 - y ( x + 1 )   d x   d y + ∫ - 1 0 ∫ - y - 1 1 + y ( x + 1 )   d x   d y

Vamos integrar o primeiro termo e depois o segundo, para facilitar;

∫ y - 1 1 - y ( x + 1 )   d x =

x 2 2 + x y - 1 1 - y = 1 - y 2 2 + 1 - y - y - 1 2 2 - ( y - 1 )

Passo 2

∫ 0 1 1 - y 2 2 + 1 - y - y - 1 2 2 - y - 1   d y =

- 1 2 ⋅ 1 - y 3 3 - 1 - y 2 2 - 1 2 ⋅ y - 1 3 3 - y - 1 2 2 0 1 =

1 6 + 1 2 - 1 6 + 1 2 = 1

Passo 3

Agora vamos resolver o segundo termo:

∫ - 1 0 ∫ - y - 1 1 + y ( x + 1 )   d x   d y

Primeiro vamos integrar em relação a x e depois em relação a y .

∫ - y - 1 1 + y ( x + 1 )   d x =

x + 1 2 2 - y - 1 1 + y = 1 + y + 1 2 2 - - y - 1 + 1 2 2 =

y + 2 2 2 - - y 2 2 = y + 2 2 2 - y 2 2

Passo 4

∫ - 1 0 y + 2 2 2 - y 2 2   d y =

1 2 ⋅ y + 2 3 3 - 1 2 ⋅ y 3 3 - 1 0 =

4 3 - 1 6 - 1 6 =

4 3 - 2 6 =

8 6 - 2 6 = 6 6

= 1

Resposta final: 1 + 1 = 2

Resposta

2  

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