Calcule

Passo 1

Similar ao procedimento das integrais duplas, o cálculo de uma integral tripla se dá por:

∫ ∫ ∫ B f x ,   y ,   z d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ g x ,   y h x ,   y f x ,   y ,   z d z d x d y

Em que:

B = x ,   y ,   z | g x ,   y ≤ z ≤ h x ,   y ,   x ,   y ∈ K

Que também pode ser representado por:

= ∫ ∫ K ∫ g y ,   z h y ,   z f x ,   y ,   z d x d y d z

B = x ,   y ,   z | g y ,   z ≤ z ≤ h y ,   z ,   y ,   z ∈ K

= ∫ ∫ K ∫ g x ,   z h x ,   z f x ,   y ,   z d y d x d z

B = x ,   y ,   z | g x ,   z ≤ z ≤ h x ,   z ,   x ,   z ∈ K

Passo 2

Logo:

∫ ∫ ∫ B x y z d x d y d z = ∫ ∫ K ∫ 1 2 x y z d z d x d y

Neste caso, K é dado por:

0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1

Resolvendo a primeira integral:

= ∫ ∫ K x y z 2 2 | 2 1 d x d y

Tal que substituindo o intervalo de integração:

= 1 2 ∫ ∫ K x y 4 - 1 d x d y = 3 2 ∫ ∫ K x y d x d y

Passo 3

Agora, a resolução pode ser feita da mesma forma para integrais duplas. Com isso:

= 3 2 ∫ ∫ K x y d x d y = 3 2 ∫ 0 2 x ∫ 0 1 y   d y d x

= 3 2 ∫ 0 2 x y 2 2 | 1 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

= 3 4 ∫ 0 2 x d x

Passo 4

Por fim, a última integral se dará por:

= 3 4 x 2 2 | 2 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 3 8 4 - 0 = 3 2

Resposta

3 2

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